За круглым столом сидит 100 человек. Каждый из которых лтбо лжет, либо говорит правду. Каждый из сидевших...

Давайте разберем задачу по шагам.

Условия задачи:

1. За круглым столом сидит 100 человек.
2. Каждый из них либо лжец, либо правдивый.
3. Каждый говорит: «Сидящий справа от меня и двое сидящих сразу за ним — лжецы».
4. Нужно определить, сколько лжецов сидит за столом.

Анализ условий:

Когда человек говорит, что трое сидящих справа от него — лжецы, нужно учитывать, что:

• Если человек правдивый, то его утверждение соответствует истине: трое человек, сидящих справа от него, действительно являются лжецами.
• Если человек лжец, то его утверждение ложно, значит как минимум один (или все) из указанных им троих не являются лжецами.

Задача заключается в определении общего количества лжецов в этой системе.

Поиск решения:

1. Основная идея: цикличность и повторяемость.

Поскольку люди сидят за круглым столом, то их рассуждения замкнуты в циклическую структуру. Это значит, что утверждения всех сидящих образуют взаимосвязанную систему, где каждый ссылается на следующих троих.

2. Принцип построения цепочки:

Для упрощения анализа представим круг в виде линейной последовательности, где человек ( i ) называет лжецами ( i+1 ), ( i+2 ) и ( i+3 ). После ( i=100 ), указание переходит к началу круга, то есть все индексы работают по модулю 100.

3. Возможность чередования:

Предположим, что за столом сидят люди, распределённые в определённой последовательности, например:

• 1-й человек — правдивый,
• 2-й человек — лжец,
• 3-й человек — правдивый,
• 4-й человек — лжец, и так далее.

Такое чередование может быть устойчивым, если оно удовлетворяет условиям задачи. Давайте проверим.

4. Проверка чередования (правдивый → лжец → правдивый → лжец):

• Если правдивый человек утверждает, что трое справа от него — лжецы, то это должно быть правдой. Значит, следующие трое действительно лжецы.
• Если лжец утверждает, что трое справа от него — лжецы, то это ложь. Значит, среди этих троих есть хотя бы один правдивый.

Такое чередование невозможно, так как правдивые утверждения требуют строгого соответствия, а ложные утверждения его нарушают.

5. Введение периодичности:

Теперь рассмотрим другой сценарий: все сидящие за столом чередуются в последовательности из трёх лжецов и одного правдивого. То есть:

• 1-й — правдивый,
• 2-й, 3-й, 4-й — лжецы,
• 5-й — правдивый,
• 6-й, 7-й, 8-й — лжецы, и так далее.

Проверим, удовлетворяет ли это условию:

• Правдивый человек говорит, что трое справа от него — лжецы. Это правда, так как за каждым правдивым действительно следуют три лжеца.
• Лжец говорит, что трое справа от него — лжецы. Это ложь, так как за каждым лжецом всегда находится один правдивый человек.

Таким образом, последовательность из одного правдивого и трёх лжецов удовлетворяет всем условиям задачи.

6. Подсчёт количества лжецов:

В круге из 100 человек, если на каждые 4 человека приходится 1 правдивый и 3 лжеца, то общее количество лжецов можно вычислить так:

[ \text{Количество групп} = \frac{100}{4} = 25. ] В каждой группе 3 лжеца, значит:

[ \text{Общее количество лжецов} = 25 \times 3 = 75. ]

Ответ:

За столом сидит 75 лжецов.

Рассмотрим ситуацию, когда за круглым столом сидят 100 человек, каждый из которых либо говорит правду, либо лжет. Каждый из них заявляет: «Сидящий справа от меня и двое сидящих сразу за ним — лжецы».

Обозначим людей за столом от 1 до 100, где человек i — это i-й человек, а человек i + 1 — это человек, сидящий справа от него. Поскольку стол круглый, после 100-го человека следует 1-й.

Теперь проанализируем утверждение каждого человека. Если человек i говорит правду, то его заявление о том, что человек i + 1 и два человека, сидящих за ним (i + 2 и i + 3), являются лжецами, должно быть истинным. Это значит, что:

• Человек i + 1 — лжец,
• Человек i + 2 — лжец,
• Человек i + 3 — лжец.

Если же человек i лжет, то его заявление ложно, что означает, что хотя бы один из людей i + 1, i + 2 и i + 3 — это правдивый человек.

Теперь давайте рассмотрим, что происходит, если мы предположим, что один из людей говорит правду. Если, например, предположить, что человек 1 говорит правду, тогда:

• Человек 2, 3 и 4 — лжецы.
• Человек 2, в свою очередь, должен сказать, что человек 3 и 4 также являются лжецами, что согласуется с тем, что он сам лжец.

Теперь проверим, что произойдет, если прогрессировать по кругу. Если человек 1 — правдивый, то:

• Человек 5 должен сказать, что человек 6, 7 и 8 — лжецы (если 4 — лжец).
• Человек 6 тоже должен сказать, что человек 7, 8 и 9 — лжецы и т.д.

Если мы продолжим этот процесс, мы увидим, что каждый правдивый человек обязывает троих следующих за ним лжецов.

Теперь давайте подсчитаем:

• Если у нас есть 1 правдивый человек, то у нас будет 3 лжеца, что приводит к 4 людям.
• Если у нас будет 2 правдивых человека, то у нас будет 6 лжецов, что приводит к 8 людям.
• Если у нас будет 3 правдивых, то это будет 9 лжецов, что приводит к 12 людям.

Обобщая, если x — количество правдивых людей, то количество лжецов будет 3x. Общее количество людей будет x + 3x = 4x.

Так как всего 100 человек, у нас есть уравнение:

[ 4x = 100 ]

Решая его, получаем:

[ x = 25 ]

Итак, количество лжецов будет:

[ 3x = 75 ]

Таким образом, за круглым столом сидит 75 лжецов и 25 правдивых людей.