Y=$x^2+1$/$x$ ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ И ПОСТРОИТЬ ЕЕ ГРАФИК

Чтобы исследовать функцию $Y=\frac{x^2+1}{x}$, начнем с упрощения:

1. Упрощение функции: $Y=x+\frac{1}{x}$

2. Область определения: Функция определена для всех $x\ne 0$.

3. Нахождение производной: $Y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$ Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $1-\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1\text{ и }x=-1$

4. Анализ знака производной:

   • Для $x<-1$: $Y^{\prime }>0$ $возрастающая$
   • Для $-1<x<1$: $Y^{\prime }<0$ $убывающая$
   • Для $x>1$: $Y^{\prime }>0$ $возрастающая$

5. Нахождение значений в критических точках: $Y(1)=2,Y(-1)=0$

6. Пределы функции:

   • При $x\to 0^{+}$: $Y\to +\mathrm{\infty }$
   • При $x\to 0^{-}$: $Y\to -\mathrm{\infty }$
   • При $x\to +\mathrm{\infty }$: $Y\to +\mathrm{\infty }$
   • При $x\to -\mathrm{\infty }$: $Y\to -\mathrm{\infty }$

7. График:

   • Функция имеет разрыв в точке $x=0$.
   • Минимум в точке $(-1,0$ ) и максимум в точке $(1,2$ ).
   • График будет иметь ветви, стремящиеся к бесконечности при приближении к нулю и уходящие в минус бесконечность.

Эти шаги помогут вам построить график функции $Y=\frac{x^2+1}{x}$.

Рассмотрим функцию $y=\frac{x^2+1}{x}$. Исследуем её свойства шаг за шагом, чтобы впоследствии построить график.

1. Область определения функции $D(y$)

Функция записана в виде дроби. Дробь имеет смысл, если знаменатель не равен нулю. В нашем случае знаменатель $x$, поэтому функция не определена в точке $x=0$.
Следовательно, область определения функции: $D(y)=\mathbb{R}\setminus 0=(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty }).$

2. Асимптоты $поведениенабесконечностииоколонуля$

Горизонтальная асимптота

Так как степень числителя $(x^2$) больше степени знаменателя $(x$), горизонтальных асимптот у функции нет.

Наклонная асимптота

Для нахождения наклонной асимптоты делим числитель на знаменатель: $y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}.$ При $x\to +\mathrm{\infty }$ или $x\to -\mathrm{\infty }$, член $\frac{1}{x}\to 0$. Таким образом, наклонная асимптота: $y=x.$

Поведение около $x=0$

При $x\to 0^{+}$ или $x\to 0^{-}$, знаменатель стремится к нулю, а числитель $(x^2+1$) остаётся положительным. Это означает, что:

• При $x\to 0^{+}$, $y\to +\mathrm{\infty }$,
• При $x\to 0^{-}$, $y\to -\mathrm{\infty }$.

Таким образом, около $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.

3. Чётность функции

Проверим, является ли функция чётной или нечётной:

• Подставим $-x$ вместо $x$:
  $y(-x)=\frac{(-x{)}^2+1}{-x}=\frac{x^2+1}{-x}=-\frac{x^2+1}{x}=-y(x).$ Так как $y(-x$ = -y$x$ ), функция нечётная. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.

4. Производная функции

Найдём производную функции, чтобы изучить её монотонность: $y=\frac{x^2+1}{x}.$ Используем правило производной частного: $y^{\prime }=\frac{(x^2+1{)}^{\prime }\cdot x-(x^2+1)\cdot (x{)}^{\prime }}{x^2}.$ $y^{\prime }=\frac{(2x)\cdot x-(x^2+1)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x^2-x^2-1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$

Знаки производной

1. $y^{\prime }=\frac{x^2-1}{x^2}=1-\frac{1}{x^2}$.
2. Производная равна нулю, когда $x^2-1=0$, то есть $x=\pm 1$.
3. Знаки производной:
   • На $(-\mathrm{\infty };-1$ ): $x^2-1>0$, значит, $y^{\prime }>0$ $функциявозрастает$.
   • На $(-1;0$ ): $x^2-1<0$, значит, $y^{\prime }<0$ $функцияубывает$.
   • На $(0;1$ ): $x^2-1<0$, значит, $y^{\prime }<0$ $функцияубывает$.
   • На $(1;+\mathrm{\infty }$ ): $x^2-1>0$, значит, $y^{\prime }>0$ $функциявозрастает$.

Экстремумы

• Точка $x=-1$: переход от возрастания к убыванию, значит, максимум.
• Точка $x=1$: переход от убывания к возрастанию, значит, минимум.

Найдём значения функции в этих точках: $y(-1)=\frac{(-1{)}^2+1}{-1}=\frac{1+1}{-1}=-2.$ $y(1)=\frac{(1{)}^2+1}{1}=\frac{1+1}{1}=2.$

Итак:

• Максимум: $(-1,-2$ ),
• Минимум: $(1,2$ ).

5. Вогнутость и точки перегиба

Для определения вогнутости найдём вторую производную. Напомним, что первая производная: $y^{\prime }=\frac{x^2-1}{x^2}.$ Продифференцируем снова: $y^{″}=\frac{[(x^2-1{)}^{\prime }\cdot x^2-(x^2-1)\cdot (x^2{)}^{\prime }]}{(x^2{)}^2}.$ $y^{″}=\frac{(2x)\cdot x^2-(x^2-1)\cdot 2x}{x^4}.$ $y^{″}=\frac{2x^3-2x(x^2-1)}{x^4}=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}=\frac{2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}.$

Знаки второй производной

• При $x>0$: $y^{″}>0$, функция выпуклая.
• При $x<0$: $y^{″}<0$, функция вогнутая.

Точка перегиба отсутствует, так как $y^{″}$ меняет знак при $x=0$, где функция не определена.

6. Построение графика

1. Область определения: $x\ne 0$.
2. Асимптоты:
   • Вертикальная: $x=0$,
   • Наклонная: $y=x$.
3. Характеристики:
   • Максимум: $(-1,-2$ ),
   • Минимум: $(1,2$ ).
4. Симметрия: график симметричен относительно начала координат.
5. Поведение:
   • При $x\to +\mathrm{\infty }$, $y\to x$,
   • При $x\to -\mathrm{\infty }$, $y\to x$,
   • При $x\to 0^{+}$, $y\to +\mathrm{\infty }$,
   • При $x\to 0^{-}$, $y\to -\mathrm{\infty }$.

График состоит из двух ветвей: одна находится в первой и третьей четвертях $симметрияотносительноначалакоординат$, функция проходит через экстремумы в точках $(-1,-2$ ) и $(1,2$ ).

График рисуется на основе всех полученных характеристик.

Чтобы исследовать функцию $Y=\frac{x^2+1}{x}$, начнем с упрощения выражения и анализа ее свойств.

1. Упрощение функции

Функцию можно немного упростить:

$Y=\frac{x^2+1}{x}=\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}$

Таким образом, мы можем считать, что исследуем функцию $Y=x+\frac{1}{x}$.

2. Область определения

Функция $Y=x+\frac{1}{x}$ определена для всех $x$, кроме $x=0$ $таккакпри(x=0$ происходит деление на ноль). Следовательно, область определения функции:

$D=\mathbb{R}\setminus 0$

3. Нахождение производной

Чтобы исследовать монотонность функции, найдем ее первую производную:

$Y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$

4. Нахождение критических точек

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$1-\frac{1}{x^2}=0⟹\frac{1}{x^2}=1⟹x^2=1⟹x=\pm 1$

5. Определение знаков производной

Теперь исследуем знак производной $Y^{\prime }$:

• Для $x<-1$: $Y^{\prime }>0$ $функциявозрастает$
• Для $-1<x<0$: $Y^{\prime }<0$ $функцияубывает$
• Для $0<x<1$: $Y^{\prime }<0$ $функцияубывает$
• Для $x>1$: $Y^{\prime }>0$ $функциявозрастает$

6. Значения функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• При $x=-1$:

$Y(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-1-1=-2$

• При $x=1$:

$Y(1)=1+\frac{1}{1}=1+1=2$

7. Исследование пределов

Теперь рассмотрим поведение функции при стремлении $x$ к нулю и к бесконечности:

• При $x\to 0^{+}$:

$Y\to +\mathrm{\infty }$

• При $x\to 0^{-}$:

$Y\to -\mathrm{\infty }$

• При $x\to +\mathrm{\infty }$:

$Y\to +\mathrm{\infty }$

• При $x\to -\mathrm{\infty }$:

$Y\to -\mathrm{\infty }$

8. Построение графика

Теперь, собрав всю информацию, можем построить график функции:

• В точке $x=-1$ значение функции равно -2, здесь находится локальный максимум.
• В точке $x=1$ значение функции равно 2, здесь находится локальный минимум.
• Функция убывает на интервалах $(-1,0$ ) и $(0,1$ ) и возрастает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-1$ ) и $(1,+\mathrm{\infty }$ ).
• График функции стремится к бесконечности при приближении к нулю с положительной стороны и к минус бесконечности с отрицательной стороны.

9. Итог

Таким образом, функция $Y=\frac{x^2+1}{x}$ имеет следующие свойства:

• Область определения: $D=\mathbb{R}\setminus 0$
• Локальный максимум в точке $(-1,-2$ )
• Локальный минимум в точке $(1,2$ )
• Поведение при $x\to 0$ и $x\to \pm \mathrm{\infty }$ описано выше.

Для построения графика используйте полученные данные о критических точках, знаках производной и пределах.