Y=x+2, y^2=9x -найти площадь фигуры . ограниченной данными линиями. Помогите пожалуйста :).
Y=x+2, y^2=9x -найти площадь фигуры . ограниченной данными линиями. Помогите пожалуйста :).
Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, нужно сначала найти точки пересечения уравнений y=x+2 и y^2=9x. После этого можно найти площадь под криволинейным участком между точками пересечения.
Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нужно сначала найти точки пересечения этих линий.
Из уравнения y=x+2 мы можем найти значение x, подставив его в уравнение y^2=9x и решив уравнение. Получаем:
(x+2)^2 = 9x x^2 + 4x + 4 = 9x x^2 - 5x + 4 = 0 (x-1)(x-4) = 0
Отсюда получаем две точки пересечения: x=1 и x=4. Подставив их в уравнение y=x+2, находим соответствующие значения y: y=3 и y=6.
Теперь у нас есть две точки: (1,3) и (4,6). Эти точки соединяют две прямые линии, которые ограничивают фигуру.
Для нахождения площади фигуры можно воспользоваться формулой площади треугольника: S = (1/2) основание высота. Площадь фигуры, ограниченной данными линиями, будет равна сумме площадей треугольника и прямоугольника, образованных этими линиями.
Сначала найдем площадь треугольника, образованного точками (1,3), (1,0) и (4,0). Основание этого треугольника равно 3 (разность x-координат точек (1,3) и (4,0)), а высота равна 1 (разность y-координат точек (1,3) и (1,0)). Площадь треугольника равна: S1 = (1/2) 3 1 = 1.5.
Теперь найдем площадь прямоугольника, образованного точками (1,0) и (4,0), а также линиями y=x+2 и y^2=9x. Основание прямоугольника равно 3 (разность x-координат точек (1,0) и (4,0)), а высота равна 2 (разность y-координат точек (1,0) и (1,2)). Площадь прямоугольника равна: S2 = 3 * 2 = 6.
Итак, общая площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна сумме площадей треугольника и прямоугольника: S = S1 + S2 = 1.5 + 6 = 7.5.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, сначала нужно определить точки пересечения этих линий и характер фигуры, которую они образуют.
У нас есть две уравнения:
Подставим ( y = x + 2 ) во второе уравнение ( y^2 = 9x ):
[ (x + 2)^2 = 9x ]
Раскроем скобки:
[ x^2 + 4x + 4 = 9x ]
Перенесем все в одну сторону:
[ x^2 + 4x + 4 - 9x = 0 ]
Упростим:
[ x^2 - 5x + 4 = 0 ]
Решим квадратное уравнение:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Где ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = 4 ):
[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times 4}}{2 \times 1} ]
[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} ]
[ x = \frac{5 \pm 3}{2} ]
Получаем два корня:
[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 ] [ x_2 = \frac{2}{2} = 1 ]
Теперь найдем соответственные значения ( y ):
Для ( x = 4 ):
[ y = 4 + 2 = 6 ]
Для ( x = 1 ):
[ y = 1 + 2 = 3 ]
Таким образом, точки пересечения: ( (4, 6) ) и ( (1, 3) ).
Так как у нас есть верхняя кривая ( y = x + 2 ) и нижняя кривая ( y = \sqrt{9x} ), найдем площадь между ними от ( x = 1 ) до ( x = 4 ).
Площадь ( A ) вычисляется как:
[ A = \int_{1}^{4} \left((x + 2) - \sqrt{9x}\right) \, dx ]
Разделим интеграл:
[ A = \int{1}^{4} (x + 2) \, dx - \int{1}^{4} \sqrt{9x} \, dx ]
Первый интеграл:
[ \int (x + 2) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x ]
Вычислим от ( x = 1 ) до ( x = 4 ):
[ \left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{1}^{4} = \left(\frac{16}{2} + 8\right) - \left(\frac{1}{2} + 2\right) ]
[ = (8 + 8) - (0.5 + 2) = 16 - 2.5 = 13.5 ]
Второй интеграл:
[ \int \sqrt{9x} \, dx = \int 3\sqrt{x} \, dx = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2x^{3/2} ]
Вычислим от ( x = 1 ) до ( x = 4 ):
[ \left[2x^{3/2}\right]_{1}^{4} = 2 \cdot 8 - 2 \cdot 1 = 16 - 2 = 14 ]
Теперь найдём разницу:
[ A = 13.5 - 14 = -0.5 ]
Однако, поскольку площадь не может быть отрицательной, это значение указывает на ошибку в порядке вычитания (кривые пересекаются, и нужно учитывать абсолютное значение):
[ A = 14 - 13.5 = 0.5 ]
Итак, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна ( 0.5 ) квадратных единиц.
