Y=2+5x^3-3x^5 исследовать функцию, найти точки экстремума и т.д

Давайте исследуем функцию $y=2+5x^3-3x^5$. Для этого мы найдем критические точки, исследуем поведение функции, определим интервалы возрастания и убывания, точки экстремума и проведем анализ на выпуклость и вогнутость.

1. Найдем первую производную:

Для нахождения критических точек нужно вычислить первую производную: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(2+5x^3-3x^5).$ Применяя правило дифференцирования, получаем: $y^{\prime }=0+15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2).$

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся из условия $y^{\prime }=0$: $15x^2(1-x^2)=0.$ Разложим на множители: $15x^2(1-x)(1+x)=0.$ Решая это уравнение, находим: $x=0,x=1,x=-1.$ Критические точки: $x=-1$, $x=0$, $x=1$.

3. Исследуем интервалы возрастания и убывания:

Для этого рассмотрим знак первой производной $y^{\prime }=15x^2(1-x^2$ ) на промежутках, разделенных критическими точками $(x=-1,0,1$).

• Для $x\in (-\mathrm{\infty },-1$ ): $y^{\prime }=15x^2(1-x^2).$ Подставим $x=-2$: $y^{\prime }=15(-2$^2$1-(-2$^2) = 15 \cdot 4 \cdot $-3$ < 0 ). Значит, функция убывает.

• Для $x\in (-1,0$ ): Подставим $x=-0.5$: $y^{\prime }=15(-0.5$^2$1-(-0.5$^2) = 15 \cdot 0.25 \cdot $1-0.25$ > 0 ). Значит, функция возрастает.

• Для $x\in (0,1$ ): Подставим $x=0.5$: $y^{\prime }=15(0.5$^2$1-(0.5$^2) = 15 \cdot 0.25 \cdot $1-0.25$ > 0 ). Значит, функция возрастает.

• Для $x\in (1,\mathrm{\infty }$ ): Подставим $x=2$: $y^{\prime }=15(2$^2$1-(2$^2) = 15 \cdot 4 \cdot $-3$ < 0 ). Значит, функция убывает.

Итак, интервалы возрастания и убывания:

• Функция возрастает на $(-1,1$ ).
• Функция убывает на $(-\mathrm{\infty },-1$ \cup $1,\mathrm{\infty }$ ).

4. Найдем точки экстремума:

Точки экстремума находятся в критических точках, где производная меняет знак.

• В точке $x=-1$: $y^{\prime }$ меняет знак с минуса на плюс $(y^{\prime }<0$ слева и $y^{\prime }>0$ справа). Значит, $x=-1$ — точка минимума.

• В точке $x=1$: $y^{\prime }$ меняет знак с плюса на минус $(y^{\prime }>0$ слева и $y^{\prime }<0$ справа). Значит, $x=1$ — точка максимума.

• В точке $x=0$: $y^{\prime }$ не меняет знак $слеваисправаот(x=0$, $y^{\prime }>0$). Значит, $x=0$ не является экстремумом.

5. Значения функции в точках экстремума:

Подставим $x=-1$ и $x=1$ в исходную функцию $y=2+5x^3-3x^5$:

• При $x=-1$: $y=2+5(-1{)}^3-3(-1{)}^5=2-5+3=0.$ Точка минимума: $(-1,0$ ).

• При $x=1$: $y=2+5(1{)}^3-3(1{)}^5=2+5-3=4.$ Точка максимума: $(1,4$ ).

6. Найдем вторую производную:

Для анализа выпуклости и вогнутости функции вычислим вторую производную: $y^{″}=\frac{d}{dx}(15x^2(1-x^2)).$ Рассчитаем: $y^{″}=30x(1-x^2)-15x^2(-2x)=30x(1-x^2)+30x^3.$ Упростим: $y^{″}=30x-30x^3+30x^3=30x(1).$ Получаем: $y^{″}=30x.$

7. Исследуем выпуклость и вогнутость:

Выпуклость и вогнутость зависят от знака $y^{″}=30x$:

• Если $y^{″}>0$ $при(x>0$), то функция выпуклая.
• Если $y^{″}<0$ $при(x<0$), то функция вогнутая.

Точка перегиба — где $y^{″}=0$, то есть $x=0$.

8. Итоговые результаты:

1. Интервалы возрастания: $(-1,1$ ).
2. Интервалы убывания: $(-\mathrm{\infty },-1$ \cup $1,\mathrm{\infty }$ ).
3. Точка минимума: $(-1,0$ ).
4. Точка максимума: $(1,4$ ).
5. Выпуклость: на $(0,\mathrm{\infty }$ ).
6. Вогнутость: на $(-\mathrm{\infty },0$ ).
7. Точка перегиба: $(0,2$ ).

Для исследования функции $y=2+5x^3-3x^5$ начнем с нахождения её производной, чтобы определить критические точки и возможные экстремумы.

1. Нахождение производной:

   Вычислим первую производную функции: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(2+5x^3-3x^5)=15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2).$

2. Критические точки:

   Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $15x^2(1-x^2)=0.$ Это уравнение равно нулю, когда: $15x^2=0\text{или}1-x^2=0.$ Из первого уравнения получаем: $x=0.$ Из второго уравнения: $x^2=1\Rightarrow x=1\text{или}x=-1.$

   Таким образом, критические точки: $x=-1,0,1$.

3. Проверка второго производной:

   Для определения типа критических точек найдем вторую производную: $y^{″}=\frac{d}{dx}(15x^2(1-x^2))=30x(1-x^2)-15x^2(2x)=30x-45x^3=15x(2-3x^2).$

   Теперь вычислим вторую производную в критических точках:

   • Для $x=-1$: $y^{″}(-1)=15(-1)(2-3(-1{)}^2)=15(-1)(2-3)=15(-1)(-1)=15>0.$ Это указывает на минимум в точке $x=-1$.

   • Для $x=0$: $y^{″}(0)=15(0)(2-3(0{)}^2)=0.$ Здесь необходимо использовать тест первой производной или анализировать поведение функции.

   • Для $x=1$: $y^{″}(1)=15(1)(2-3(1{)}^2)=15(1)(2-3)=15(1)(-1)=-15<0.$ Это указывает на максимум в точке $x=1$.

4. Поведение функции:

   Теперь рассмотрим значения функции в критических точках:

   • $y(-1$ = 2 + 5$-1$^3 - 3$-1$^5 = 2 - 5 + 3 = 0 ).
   • $y(0$ = 2 + 5$0$^3 - 3$0$^5 = 2 ).
   • $y(1$ = 2 + 5$1$^3 - 3$1$^5 = 2 + 5 - 3 = 4 ).

5. Итог:

   • В точке $x=-1$ находится локальный минимум с $y(-1$ = 0 ).
   • В точке $x=0$ поведение функции меняется, и она принимает значение $y(0$ = 2 ) $неявляетсяэкстремумом$.
   • В точке $x=1$ находится локальный максимум с $y(1$ = 4 ).

6. График функции:

   Для наглядного представления можно построить график функции. Функция будет иметь локальный минимум в точке $(-1,0$ ) и локальный максимум в точке $(1,4$ ). Также стоит учесть, что при $x\to -\mathrm{\infty }$ и $x\to +\mathrm{\infty }$ функция будет стремиться к $-\mathrm{\infty }$, так как главный член $-3x^5$ будет доминировать.

Таким образом, мы исследовали функцию, нашли критические точки и определили их характер.