Y=16-x^2+6x все выражение под корнем! Найти область определения

Для того чтобы найти область определения функции y = √$16-x^2+6x$, нужно определить значения x, для которых выражение под корнем неотрицательно, так как под корнем не может быть отрицательное число.

16 - x^2 + 6x ≥ 0

Перепишем это уравнение в виде x^2 - 6x + 16 ≤ 0

Далее, найдем корни этого квадратного уравнения:

D = $-6$^2 - 4116 = 36 - 64 = -28

Так как дискриминант отрицательный, то это означает, что уравнение x^2 - 6x + 16 = 0 не имеет рациональных корней, а следовательно, не имеет решений в действительных числах.

Следовательно, областью определения функции y = √$16-x^2+6x$ является пустое множество, то есть функция не определена для любых значений x.

Чтобы найти область определения функции, нужно определить, при каких значениях переменной $x$ выражение под корнем является неотрицательным. Это связано с тем, что квадратный корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.

Дана функция:

$y=\sqrt{16-x^2+6x}$

Область определения функции — это такие значения $x$, при которых подкоренное выражение $16-x^2+6x$ больше или равно нулю:

$16-x^2+6x\ge 0$

Рассмотрим это неравенство. Для удобства, сначала представим его в стандартной форме квадратного неравенства:

$-x^2+6x+16\ge 0$

Умножим всё неравенство на -1, чтобы получить положительный коэффициент при $x^2$:

$x^2-6x-16\le 0$

Теперь решим квадратное уравнение:

$x^2-6x-16=0$

Найдём его корни с помощью дискриминанта $D$:

$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-16)=36+64=100$

Корни уравнения:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{6\pm \sqrt{100}}{2}=\frac{6\pm 10}{2}$

Таким образом, корни:

$x_1=\frac{6+10}{2}=8$ $x_2=\frac{6-10}{2}=-2$

Теперь наша задача — определить промежутки, на которых $x^2-6x-16\le 0$. Корни разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\mathrm{\infty },-2$ ), $[-2,8]$, $(8,\mathrm{\infty }$ ).

Проверим знак выражения на каждом из промежутков:

1. Для промежутка $(-\mathrm{\infty },-2$ ), выберем тестовую точку, например, $x=-3$: $(-3{)}^2-6(-3)-16=9+18-16=11$ $положительное$

2. Для промежутка $[-2,8]$, выберем тестовую точку, например, $x=0$: $0^2-6\cdot 0-16=-16$ $отрицательное$

3. Для промежутка $(8,\mathrm{\infty }$ ), выберем тестовую точку, например, $x=9$: $9^2-6\cdot 9-16=81-54-16=11$ $положительное$

Таким образом, неравенство выполняется на промежутке $[-2,8]$.

Следовательно, область определения функции $y=\sqrt{16-x^2+6x}$ — это отрезок:

$x\in [-2,8$ ]