|X^2-6x+8|+|x^2-6x+5|=a найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно 3 корня.

Для того чтобы уравнение имело ровно 3 корня, необходимо, чтобы модули в левой части были равны между собой, так как сумма модулей всегда неотрицательна.

Таким образом, у нас получается два случая:

1. |x^2-6x+8| = |x^2-6x+5|

Для этого случая нужно найти значения x, при которых выражения в модулях равны. Это происходит, когда выражения внутри модулей либо оба положительные, либо оба отрицательные. Для уравнения x^2-6x+8 = x^2-6x+5 получаем противоречие, так как 8 ≠ 5. Следовательно, в этом случае уравнение не имеет решений.

1. |x^2-6x+8| = -(x^2-6x+5)

Для этого случая нужно найти значения x, при которых выражения внутри модулей противоположны по знаку. Это происходит, когда одно из них положительное, а другое отрицательное. Решая уравнение x^2-6x+8 = -(x^2-6x+5), получаем корни x = 1 и x = 3.

Таким образом, при a = 2 уравнение |x^2-6x+8|+|x^2-6x+5|=2 имеет ровно 3 корня: x = 1, x = 3 и еще один корень, который является корнем кратности 2 в точке x = 2.

Давайте рассмотрим уравнение:

[ |x^2 - 6x + 8| + |x^2 - 6x + 5| = a ]

для определения всех значений ( a ), при которых уравнение имеет ровно 3 корня.

Шаг 1: Найти корни квадратных выражений

Рассмотрим сначала выражение ( x^2 - 6x + 8 ). Найдем его корни:

[ x^2 - 6x + 8 = 0 ]

Решая это уравнение, получаем:

[ (x - 2)(x - 4) = 0 ]

Таким образом, корни равны ( x = 2 ) и ( x = 4 ).

Теперь рассмотрим второе выражение ( x^2 - 6x + 5 ):

[ x^2 - 6x + 5 = 0 ]

Решая это уравнение, получаем:

[ (x - 1)(x - 5) = 0 ]

Таким образом, корни равны ( x = 1 ) и ( x = 5 ).

Шаг 2: Исследовать интервалы

Теперь у нас есть ключевые точки, где выражения меняют знак: ( x = 1, 2, 4, 5 ). Разделим числовую ось на интервалы:

1. ( (-\infty, 1) )
2. ( [1, 2) )
3. ( [2, 4) )
4. ( [4, 5) )
5. ( [5, \infty) )

Шаг 3: Рассмотреть поведение модулей на каждом интервале

1. На интервале ( (-\infty, 1) ):

   • ( x^2 - 6x + 8 > 0 )
   • ( x^2 - 6x + 5 > 0 )

   Уравнение становится:

   [ (x^2 - 6x + 8) + (x^2 - 6x + 5) = a ]

   [ 2x^2 - 12x + 13 = a ]

2. На интервале ( [1, 2) ):

   • ( x^2 - 6x + 8 > 0 )
   • ( x^2 - 6x + 5 < 0 )

   Уравнение становится:

   [ (x^2 - 6x + 8) - (x^2 - 6x + 5) = a ]

   [ 3 = a ]

3. На интервале ( [2, 4) ):

   • ( x^2 - 6x + 8 < 0 )
   • ( x^2 - 6x + 5 < 0 )

   Уравнение становится:

   [ -(x^2 - 6x + 8) - (x^2 - 6x + 5) = a ]

   [ -2x^2 + 12x - 13 = a ]

4. На интервале ( [4, 5) ):

   • ( x^2 - 6x + 8 < 0 )
   • ( x^2 - 6x + 5 > 0 )

   Уравнение становится:

   [ -(x^2 - 6x + 8) + (x^2 - 6x + 5) = a ]

   [ -3 = a ]

5. На интервале ( [5, \infty) ):

   • ( x^2 - 6x + 8 > 0 )
   • ( x^2 - 6x + 5 > 0 )

   Уравнение становится:

   [ (x^2 - 6x + 8) + (x^2 - 6x + 5) = a ]

   [ 2x^2 - 12x + 13 = a ]

Шаг 4: Найти значения ( a ) для трех корней

Мы видим, что уравнение ( a = 3 ) и ( a = -3 ) не зависит от ( x ) на соответствующих интервалах, и нам необходимо проверить, сколько решений они дают:

• ( a = 3 ): На интервале ( [1, 2) ) решение всегда есть. Для других интервалов, при ( a = 3 ), соответствующие функции ( 2x^2 - 12x + 13 = 3 ) и (-2x^2 + 12x - 13 = 3) дают по два решения, но из них два пересекаются с первым интервалом. Поэтому только один уникальный корень на других интервалах.

• ( a = -3 ): На интервале ( [4, 5) ) решение всегда есть. Для других интервалов, при ( a = -3 ), аналогично, будут давать по одному уникальному решению в других интервалах.

Таким образом, значения ( a ) при которых уравнение имеет ровно 3 корня, это ( a = 3 ) и ( a = -3 ).