Высота правильной треугольной пирамиды равна 2, а сторона основания 12. Найдите длину апофемы этой пирамиды.
Высота правильной треугольной пирамиды равна 2, а сторона основания 12. Найдите длину апофемы этой пирамиды.
Чтобы найти длину апофемы правильной треугольной пирамиды, нужно воспользоваться некоторыми свойствами правильных пирамид и треугольников.
Определение апофемы: Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, которая является равнобедренным треугольником.
Исходные данные:
Найдем радиус вписанной окружности основания: Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной 12. Радиус вписанной окружности (расстояние от центра основания до любой стороны) можно найти по формуле: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ] Подставим ( a = 12 ): [ r = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3} ]
Центр основания и высота пирамиды: Центр основания правильной треугольной пирамиды находится на перпендикуляре, проведенном из вершины пирамиды к центру основания. Высота пирамиды соединяет вершину пирамиды с центром основания.
Использование теоремы Пифагора: Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды ( h ), радиусом вписанной окружности ( r ), и апофемой ( l ). По теореме Пифагора: [ l^2 = h^2 + r^2 ] Подставим известные значения: [ l^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 ] [ l^2 = 4 + 4 \cdot 3 ] [ l^2 = 4 + 12 = 16 ] [ l = \sqrt{16} = 4 ]
Таким образом, длина апофемы этой пирамиды равна 4.
Для нахождения длины апофемы правильной треугольной пирамиды с высотой 2 и стороной основания 12, нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения апофемы:
апофема = √(сторона/2)^2 + высота^2
Заменяем известные значения:
апофема = √(12/2)^2 + 2^2 апофема = √6^2 + 4 апофема = √36 + 4 апофема = √40 апофема ≈ 6.32
Таким образом, длина апофемы этой правильной треугольной пирамиды равна примерно 6.32.
