Высота конуса равна 8, а образующая 10. Определите радиус вписанного шара. Можно поподробнее пожалуйста...

Для того чтобы найти радиус вписанного шара в конус, сначала надо определить радиус основания конуса. В задаче даны высота конуса ( h = 8 ) и длина образующей ( l = 10 ).

Шаг 1: Найдите радиус основания конуса

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом основания и образующей:

[ l^2 = r^2 + h^2 ]

Подставим известные значения:

[ 10^2 = r^2 + 8^2 ]

[ 100 = r^2 + 64 ]

[ r^2 = 36 ]

[ r = 6 ]

Таким образом, радиус основания конуса равен 6.

Шаг 2: Определите радиус вписанного шара

Радиус шара, вписанного в конус, может быть найден с использованием формулы:

[ r_{ш} = \frac{r \cdot h}{l + r} ]

Подставим известные значения:

[ r_{ш} = \frac{6 \cdot 8}{10 + 6} ]

[ r_{ш} = \frac{48}{16} ]

[ r_{ш} = 3 ]

Таким образом, радиус вписанного шара равен 3.

Рисунок

К сожалению, я не имею возможности вставлять изображения. Однако вы можете нарисовать это самостоятельно:

1. Нарисуйте вертикальную ось и отметьте точку ( O ) — вершину конуса.
2. Проведите перпендикуляр к оси на расстоянии 8 единиц от вершины, обозначьте его как ( AB ) (основание конуса).
3. Соедините ( O ) с ( A ) и ( B ), чтобы образовать треугольник ( OAB ), где ( OA = OB = 10 ) — образующая.
4. Радиус вписанного шара — это расстояние от вершины ( O ) до центра круга, вписанного в треугольник ( OAB ).

Таким образом, вы получите наглядное представление о расположении элементов задачи.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами конуса и вписанной в него сферы.

Обозначим радиус вписанной сферы как (r). Так как образующая конуса (l = 10), а его высота (h = 8), то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения радиуса конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого будут центр сферы (O), вершина конуса (A) и точка пересечения высоты и образующей (B). Тогда (OA = r), (AB = h) и (OB = l).

Применяя теорему Пифагора к треугольнику (OAB), получаем: [ r^2 + h^2 = l^2 ] [ r^2 + 8^2 = 10^2 ] [ r^2 + 64 = 100 ] [ r^2 = 100 - 64 ] [ r^2 = 36 ] [ r = 6 ]

Таким образом, радиус вписанной в конус сферы равен 6.