Высота конуса равна 5 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120 градусов. Найдите объём конуса....

Для нахождения объёма конуса, нам необходимо знать его высоту ( h ) и радиус основания ( r ). Высота конуса дана: ( h = 5 ) см. Угол при вершине осевого сечения также дан: ( 120^\circ ).

1. Анализ осевого сечения: Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, вершина которого совпадает с вершиной конуса, а основание лежит на окружности основания конуса. Угол при вершине этого треугольника равен ( 120^\circ ).

2. Разделение угла: Если мы проведем высоту этого треугольника, то она разделит угол ( 120^\circ ) на два угла по ( 60^\circ ). Таким образом, мы получим два прямоугольных треугольника, в каждом из которых один из углов равен ( 60^\circ ), другой — ( 30^\circ ), а гипотенуза равна длине образующей ( l ).

3. Поиск образующей ( l ): В прямоугольном треугольнике с углами ( 30^\circ ), ( 60^\circ ) и ( 90^\circ ) отношение длин сторон следующее: противолежащая катету угла ( 30^\circ ) (высота конуса ( h )) равна половине гипотенузы (образующая ( l )). [ l = \frac{h}{\cos(60^\circ)} = \frac{5}{\cos(60^\circ)} = \frac{5}{0.5} = 10 \text{ см} ]

4. Поиск радиуса основания ( r ): В данном треугольнике радиус основания конуса ( r ) является противолежащим катетом угла ( 60^\circ ). [ r = h \cdot \tan(60^\circ) = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \text{ см} ]

5. Вычисление объёма конуса: Объём конуса вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ] Подставляем числовые значения: [ V = \frac{1}{3} \pi (8.66)^2 \cdot 5 \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 74.99 \cdot 5 \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 374.95 \approx 392.7 \text{ см}^3 ]

Рисунок:

       A
      /|\
     / | \
    /  |  \
   /   |h=5\
  /    |    \
 /_____|_____\
B      r     C

Треугольник (ABC) является осевым сечением конуса, (A) — вершина конуса, (BC) — основание, (h = 5) см — высота, (r) — радиус основания.

Таким образом, объём конуса составляет приблизительно ( 392.7 \text{ см}^3 ).

Для нахождения объема конуса воспользуемся формулой V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Найдем радиус основания конуса. Для этого нарисуем сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину и основание под углом 120 градусов. Получится равносторонний треугольник, в котором сторона основания конуса будет равна радиусу основания. Так как угол при вершине треугольника равен 120 градусам, то угол при основании равен 60 градусам.

По свойствам равностороннего треугольника, сторона (радиус) равна h √3, где h - высота треугольника (в данном случае - высота конуса). Таким образом, радиус основания конуса r = 5 √3 см.

Теперь можем найти объем конуса: V = (1/3) π (5√3)^2 5 = (1/3) π 75 5 ≈ 392,7 см^3.

Ответ: объем конуса примерно равен 392,7 см^3.

(Извините, но я не могу предоставить изображения, так как я текстовый ИИ.)

Объем конуса равен ( \frac{1}{3} \pi r^2 h ), где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.