Высота CD, проведенная к основанию АВ равнобедренного треугольника АВС, равна 3 см, а само основание...

Чтобы найти радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника $ABC$, начнем с вычисления длины боковых сторон и некоторых других параметров.

1. Найти длину боковых сторон $AC$ и $BC$:

   Поскольку $CD$ является высотой, проведенной к основанию $AB$, она также является медианой и биссектрисой. Это значит, что точка $D$ делит $AB$ пополам, поэтому $AD=DB=\frac{AB}{2}=4\text{ см}$.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$: $AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{ см}$ Таким образом, $AC=BC=5\text{ см}$.

2. Найти радиус описанной окружности $R$:

   Формула для радиуса описанной окружности $R$ для любого треугольника выражается как: $R=\frac{abc}{4K}$ где $a$, $b$, и $c$ - стороны треугольника, а $K$ - площадь треугольника.

   В данном случае $a=b=5\text{ см}$, $c=8\text{ см}$.

   Для нахождения площади $K$ треугольника $ABC$, можно использовать формулу площади для треугольника через основание и высоту: $K=\frac{1}{2}\times AB\times CD=\frac{1}{2}\times 8\times 3=12{\text{ см}}^2$

   Теперь можем найти радиус $R$: $R=\frac{5\times 5\times 8}{4\times 12}=\frac{200}{48}=\frac{25}{6}\approx 4.17\text{ см}$

3. Найти радиус вписанной окружности $r$:

   Формула для радиуса вписанной окружности $r$ для любого треугольника выражается как: $r=\frac{K}{s}$ где $K$ - площадь треугольника, а $s$ - полупериметр треугольника.

   Полупериметр $s$ треугольника $ABC$ равен: $s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+5+8}{2}=9\text{ см}$

   Теперь можем найти радиус $r$: $r=\frac{K}{s}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\approx 1.33\text{ см}$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен $\frac{4}{3}\approx 1.33\text{ см}$, а радиус описанной окружности равен $\frac{25}{6}\approx 4.17\text{ см}$.

Для начала найдем высоту треугольника ABC, проведенную из вершины C к основанию AB. Так как треугольник ABC равнобедренный, то эта высота будет также являться медианой и биссектрисой. Пусть высота из вершины C пересекает сторону AB в точке M. Тогда AM = MB, и треугольник ACM будет равнобедренным. Так как высота CD проведена к стороне AB, то треугольник ACD также будет равнобедренным, и CD = AD. Следовательно, AM = MB = CD = AD = 3 см.

Теперь посчитаем площадь треугольника ABC двумя способами:

1. Площадь треугольника ABC равна половине произведения высоты CD на основание AB: S = 0,5 3 см 8 см = 12 кв. см.

2. Площадь треугольника ABC также можно выразить через радиус вписанной окружности r и полупериметр треугольника p: S = r p, где p = AB + BC + AC / 2 = 8 см + 8 см + 2 r = 16 см + 2r. Подставим найденную площадь треугольника и выразим радиус вписанной окружности: 12 кв. см = r * $16см+2r$ => 12 = 16r + 2r^2 => 2r^2 + 16r - 12 = 0. Решив квадратное уравнение, найдем радиус вписанной окружности: r1 ≈ 0,61 см и r2 ≈ 5,88 см.

Далее найдем радиус описанной окружности. Для этого воспользуемся формулой радиуса описанной окружности R, равного произведению сторон треугольника ABC, деленному на удвоенную площадь треугольника: R = AB BC AC / (4 S). Подставим известные значения и найдем радиус описанной окружности: R = 8 см 8 см 8 см / (4 12 кв. см) ≈ 21,33 см.

Итак, радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC равны примерно 0,61 см и 21,33 см соответственно.