Высота CD, проведенная к основанию АВ равнобедренного треугольника АВС, равна 3 см, а само основание...

Чтобы найти радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника (ABC), начнем с вычисления длины боковых сторон и некоторых других параметров.

1. Найти длину боковых сторон (AC) и (BC):

   Поскольку (CD) является высотой, проведенной к основанию (AB), она также является медианой и биссектрисой. Это значит, что точка (D) делит (AB) пополам, поэтому (AD = DB = \frac{AB}{2} = 4 \text{ см}).

   Рассмотрим прямоугольный треугольник (ACD): [ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ] Таким образом, (AC = BC = 5 \text{ см}).

2. Найти радиус описанной окружности (R):

   Формула для радиуса описанной окружности (R) для любого треугольника выражается как: [ R = \frac{abc}{4K} ] где (a), (b), и (c) - стороны треугольника, а (K) - площадь треугольника.

   В данном случае (a = b = 5 \text{ см}), (c = 8 \text{ см}).

   Для нахождения площади (K) треугольника (ABC), можно использовать формулу площади для треугольника через основание и высоту: [ K = \frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \text{ см}^2 ]

   Теперь можем найти радиус (R): [ R = \frac{5 \times 5 \times 8}{4 \times 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6} \approx 4.17 \text{ см} ]

3. Найти радиус вписанной окружности (r):

   Формула для радиуса вписанной окружности (r) для любого треугольника выражается как: [ r = \frac{K}{s} ] где (K) - площадь треугольника, а (s) - полупериметр треугольника.

   Полупериметр (s) треугольника (ABC) равен: [ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 5 + 8}{2} = 9 \text{ см} ]

   Теперь можем найти радиус (r): [ r = \frac{K}{s} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ см} ]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен ( \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ см} ), а радиус описанной окружности равен ( \frac{25}{6} \approx 4.17 \text{ см} ).

Для начала найдем высоту треугольника ABC, проведенную из вершины C к основанию AB. Так как треугольник ABC равнобедренный, то эта высота будет также являться медианой и биссектрисой. Пусть высота из вершины C пересекает сторону AB в точке M. Тогда AM = MB, и треугольник ACM будет равнобедренным. Так как высота CD проведена к стороне AB, то треугольник ACD также будет равнобедренным, и CD = AD. Следовательно, AM = MB = CD = AD = 3 см.

Теперь посчитаем площадь треугольника ABC двумя способами:

1. Площадь треугольника ABC равна половине произведения высоты CD на основание AB: S = 0,5 3 см 8 см = 12 кв. см.

2. Площадь треугольника ABC также можно выразить через радиус вписанной окружности r и полупериметр треугольника p: S = r p, где p = AB + BC + AC / 2 = 8 см + 8 см + 2 r = 16 см + 2r. Подставим найденную площадь треугольника и выразим радиус вписанной окружности: 12 кв. см = r * (16 см + 2r) => 12 = 16r + 2r^2 => 2r^2 + 16r - 12 = 0. Решив квадратное уравнение, найдем радиус вписанной окружности: r1 ≈ 0,61 см и r2 ≈ 5,88 см.

Далее найдем радиус описанной окружности. Для этого воспользуемся формулой радиуса описанной окружности R, равного произведению сторон треугольника ABC, деленному на удвоенную площадь треугольника: R = AB BC AC / (4 S). Подставим известные значения и найдем радиус описанной окружности: R = 8 см 8 см 8 см / (4 12 кв. см) ≈ 21,33 см.

Итак, радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC равны примерно 0,61 см и 21,33 см соответственно.