вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3+2 y=0 x=0 x=2
вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3+2 y=0 x=0 x=2
Для вычисления площади фигуры ограниченной этими линиями, необходимо построить график функции y=x^3+2 и найти площадь фигуры, ограниченной этим графиком, осью x=0, осью x=2 и осью y=0. После этого можно применить метод интегрирования для вычисления площади под кривой.
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^3 + 2 ), ( y = 0 ), ( x = 0 ) и ( x = 2 ), нам нужно определить область интегрирования и посчитать определённый интеграл.
Определение границ интегрирования:
Интеграл для нахождения площади: Площадь ( A ) между графиком функции ( y = x^3 + 2 ) и осью ( x ) на интервале от ( x = 0 ) до ( x = 2 ) можно найти с помощью определённого интеграла: [ A = \int_{0}^{2} (x^3 + 2) \, dx ]
Вычисление интеграла: Разделим интеграл на части: [ A = \int{0}^{2} x^3 \, dx + \int{0}^{2} 2 \, dx ]
Вычислим первый интеграл: [ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C ] Подставим пределы интегрирования: [ \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 ]
Вычислим второй интеграл: [ \int 2 \, dx = 2x + C ] Подставим пределы интегрирования: [ \left[ 2x \right]_{0}^{2} = 2 \times 2 - 2 \times 0 = 4 ]
Сложение результатов: [ A = 4 + 4 = 8 ]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 8 квадратным единицам.
Для того чтобы найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3+2, y=0, x=0 и x=2, необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.
Сначала найдем точки пересечения кривой y=x^3+2 с осями координат. Подставим y=0 в уравнение кривой: 0 = x^3 + 2 x^3 = -2 x = -2^(1/3)
Таким образом, у нас есть 3 точки пересечения: (0, 2), (-2^(1/3), 0), (2, 10).
Теперь мы можем построить график этой кривой и посчитать интеграл функции между x=0 и x=2, чтобы найти площадь фигуры. Интеграл будет равен: ∫[0,2] (x^3 + 2) dx
Вычислив этот интеграл, найдем площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
