Вычислите площадь фигуры ограниченной графиками функций y= -x^2+x+2 и прямой y=0. ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=-x^2+x+2 и прямой y=0, необходимо найти точки их пересечения и затем построить графики функций.

1. Найдем точки пересечения функции y=-x^2+x+2 с прямой y=0: -x^2+x+2=0 Данное уравнение является квадратным уравнением. Решим его с помощью дискриминанта: D = 1^2 - 4(-1)2 = 1+8 = 9 x1,2 = (-1 +- sqrt(9)) / (2*(-1)) x1 = (1 + 3) / -2 = -2 x2 = (1 - 3) / -2 = 1

2. Построим графики функций y=-x^2+x+2 и y=0: График функции y=-x^2+x+2 - парабола, направленная вниз с вершиной в точке (0.5, 2.25), проходящая через точки (-2, 6) и (1, 2). Прямая y=0 - ось X.

3. Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиками функций: S = ∫[a,b] |f(x)| dx S = ∫[-2,1] (-x^2+x+2) dx = [(-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2x] |[-2,1] S = [(-1/3)1^3 + (1/2)1^2 + 2*1] - [(-1/3)(-2)^3 + (1/2)(-2)^2 + 2*(-2)] S = [-1/3 + 1/2 + 2] - [-8/3 + 2 + (-4)] S = [11/6] - [-14/3] S = 11/6 + 14/3 S = 11/6 + 28/6 S = 39/6 S = 6.5

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=-x^2+x+2 и прямой y=0, равна 6.5 единицам квадратным.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций ( y = -x^2 + x + 2 ) и прямой ( y = 0 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графиков:

   Для этого приравняем уравнения функций: [ -x^2 + x + 2 = 0 ]

   Решим квадратное уравнение: [ -x^2 + x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 ]

   Найдем корни этого уравнения, используя формулу квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -2 ).

   Подставим значения: [ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm 3}{2} ]

   Таким образом, ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -1 ).

2. Вычислить площадь фигуры:

   Площадь между кривой и осью ( x ) (то есть линией ( y = 0 )) может быть найдена с использованием определенного интеграла в пределах от ( x = -1 ) до ( x = 2 ).

   Подсчитаем интеграл: [ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx ]

   Найдем первообразную для функции ( -x^2 + x + 2 ): [ \int (-x^2 + x + 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x + C ]

   Подставим пределы интегрирования: [ \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} ]

   Вычислим значение первообразной в точках: [ \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \times 2\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \times (-1)\right) ]

   [ = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) ]

   [ = \left(-\frac{8}{3} + 6\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) ]

   [ = \left(-\frac{8}{3} + \frac{18}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6}\right) ]

   [ = \left(\frac{10}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - 2\right) ]

   [ = \left(\frac{10}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{12}{6}\right) ]

   [ = \left(\frac{10}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - 2\right) ]

   [ = \left(\frac{10}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - 2\right) ]

   [ = \frac{10}{3} - \left(\frac{2}{3} - 2\right) ]

   [ = \frac{10}{3} - \left(\frac{2}{3} - \frac{12}{6}\right) ]

   [ = \frac{10}{3} - \left(\frac{2}{3} - 2\right) ]

   [ = \frac{10}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) ]

   [ = \frac{10}{3} + \frac{8}{3} ]

   [ = \frac{18}{3} ]

   [ = 6 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций ( y = -x^2 + x + 2 ) и ( y = 0 ), равна 6.