Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: у=3х-1, х=2, у=0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций ( y = 3x - 1 ), ( x = 2 ) и ( y = 0 ), необходимо определить область на плоскости, которую они заключают, и затем вычислить её площадь.

1. Определение границ интегрирования:

   • Функция ( y = 3x - 1 ) — это прямая линия с угловым коэффициентом 3 и свободным членом -1.
   • Прямая ( x = 2 ) — это вертикальная линия.
   • Прямая ( y = 0 ) — это ось абсцисс (ось x).

   Мы ищем область, ограниченную снизу осью ( y = 0 ), слева прямой ( y = 3x - 1 ), и справа линией ( x = 2 ).

2. Нахождение точки пересечения графика ( y = 3x - 1 ) с осью ( y = 0 ):

   Чтобы найти точку пересечения графика функции ( y = 3x - 1 ) с осью ( y = 0 ), приравняем уравнение функции к нулю:

   [ 3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} ]

   Таким образом, точка пересечения — это ( \left( \frac{1}{3}, 0 \right) ).

3. Определение области:

   Область заключена между точками ( x = \frac{1}{3} ) и ( x = 2 ). Верхняя граница области определяется функцией ( y = 3x - 1 ), а нижняя — осью ( y = 0 ).

4. Вычисление площади:

   Площадь под графиком функции от ( x = \frac{1}{3} ) до ( x = 2 ) можно вычислить с помощью определённого интеграла:

   [ A = \int_{\frac{1}{3}}^{2} (3x - 1) \, dx ]

   Вычислим интеграл:

   [ \int (3x - 1) \, dx = \frac{3}{2}x^2 - x + C ]

   Подставим пределы интегрирования:

   [ A = \left[ \frac{3}{2}x^2 - x \right]_{\frac{1}{3}}^{2} ]

   Вычислим значения на верхнем и нижнем пределе:

   [ A = \left( \frac{3}{2} \times 2^2 - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} \right) ]

   [ = \left( \frac{3}{2} \times 4 - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} \times \frac{1}{9} - \frac{1}{3} \right) ]

   [ = (6 - 2) - \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{3} \right) ]

   [ = 4 - \left( \frac{1}{6} - \frac{2}{6} \right) ]

   [ = 4 + \frac{1}{6} ]

   [ = \frac{24}{6} + \frac{1}{6} = \frac{25}{6} ]

   Таким образом, площадь фигуры равна (\frac{25}{6}) квадратных единиц.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=3х-1, х=2 и у=0, необходимо найти точки пересечения этих функций и затем рассчитать площадь под криволинейным участком графика функции y=3x-1 от x=0 до x=2.

1. Найдем точки пересечения функций у=3х-1 и у=0: 3x-1=0 3x=1 x=1/3

То есть точка пересечения графиков функций y=3х-1 и y=0 имеет координаты (1/3, 0).

1. Теперь найдем точку пересечения функций х=2 и y=0: x=2

То есть точка пересечения графиков функций x=2 и y=0 имеет координаты (2, 0).

1. Теперь рассчитаем площадь под криволинейным участком графика функции y=3x-1 от x=0 до x=2: S = ∫[0, 2] (3x-1) dx S = [(3x^2)/2 - x] [0, 2] S = [(3*2^2)/2 - 2] - [(3*0^2)/2 - 0] S = [6 - 2] - [0 - 0] S = 4

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=3х-1, х=2 и у=0, равна 4.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, нужно найти точки пересечения этих функций и провести соответствующие вычисления.