Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: у=3х-1, х=2, у=0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=3x-1$, $x=2$ и $y=0$, необходимо определить область на плоскости, которую они заключают, и затем вычислить её площадь.

1. Определение границ интегрирования:

   • Функция $y=3x-1$ — это прямая линия с угловым коэффициентом 3 и свободным членом -1.
   • Прямая $x=2$ — это вертикальная линия.
   • Прямая $y=0$ — это ось абсцисс $осьx$.

   Мы ищем область, ограниченную снизу осью $y=0$, слева прямой $y=3x-1$, и справа линией $x=2$.

2. Нахождение точки пересечения графика $y=3x-1$ с осью $y=0$:

   Чтобы найти точку пересечения графика функции $y=3x-1$ с осью $y=0$, приравняем уравнение функции к нулю:

   $3x-1=0⟹3x=1⟹x=\frac{1}{3}$

   Таким образом, точка пересечения — это $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ).

3. Определение области:

   Область заключена между точками $x=\frac{1}{3}$ и $x=2$. Верхняя граница области определяется функцией $y=3x-1$, а нижняя — осью $y=0$.

4. Вычисление площади:

   Площадь под графиком функции от $x=\frac{1}{3}$ до $x=2$ можно вычислить с помощью определённого интеграла:

   $A={\int }_{\frac{1}{3}}^2(3x-1)dx$

   Вычислим интеграл:

   $\int (3x-1)dx=\frac{3}{2}{x}^2-x+C$

   Подставим пределы интегрирования:

   $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_{\frac{1}{3}}^{2} ]

   Вычислим значения на верхнем и нижнем пределе:

   $A=(\frac{3}{2}\times 2^2-2)-(\frac{3}{2}\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3})$

   $=(\frac{3}{2}\times 4-2)-(\frac{3}{2}\times \frac{1}{9}-\frac{1}{3})$

   $=(6-2)-(\frac{1}{6}-\frac{1}{3})$

   $=4-(\frac{1}{6}-\frac{2}{6})$

   $=4+\frac{1}{6}$

   $=\frac{24}{6}+\frac{1}{6}=\frac{25}{6}$

   Таким образом, площадь фигуры равна $\frac{25}{6}$ квадратных единиц.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=3х-1, х=2 и у=0, необходимо найти точки пересечения этих функций и затем рассчитать площадь под криволинейным участком графика функции y=3x-1 от x=0 до x=2.

1. Найдем точки пересечения функций у=3х-1 и у=0: 3x-1=0 3x=1 x=1/3

То есть точка пересечения графиков функций y=3х-1 и y=0 имеет координаты $1/3,0$.

1. Теперь найдем точку пересечения функций х=2 и y=0: x=2

То есть точка пересечения графиков функций x=2 и y=0 имеет координаты $2,0$.

1. Теперь рассчитаем площадь под криволинейным участком графика функции y=3x-1 от x=0 до x=2: S = ∫$0,2$ $3x-1$ dx S = $(3x^2)/2-x$ $0,2$ S = $(3\ast 2^2)/2-2$ - $(3\ast 0^2)/2-0$ S = $6-2$ - $0-0$ S = 4

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=3х-1, х=2 и у=0, равна 4.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, нужно найти точки пересечения этих функций и провести соответствующие вычисления.