Чтобы вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать длину стороны основания и апофему боковой грани. У нас уже есть апофема боковой грани, которая равна 18 см.
Давайте разберёмся с длиной стороны основания. Из условия задачи у нас есть высота пирамиды (9 см) и апофема боковой грани (18 см). Высота пирамиды (h) и апофема (a) образуют прямоугольный треугольник с высотой, проведенной из вершины пирамиды к центру основания (обозначим её как x).
Из прямоугольного треугольника можно записать уравнение по теореме Пифагора:
[ a^2 = h^2 + x^2 ]
Подставим известные значения в уравнение:
[ 18^2 = 9^2 + x^2 ]
[ 324 = 81 + x^2 ]
[ x^2 = 324 - 81 ]
[ x^2 = 243 ]
[ x = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \, \text{см} ]
Теперь, зная, что ( x ) — это апофема основания, которая равна треть высоты, проведенной из центра основания к стороне, можем найти сторону основания ( s ) правильного треугольника:
[ x = \frac{s\sqrt{3}}{3} ]
[ 9\sqrt{3} = \frac{s\sqrt{3}}{3} ]
[ s = 27 \, \text{см} ]
Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из трёх одинаковых треугольников. Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле:
[ \text{Площадь}_\text{треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{апофема} ]
Подставим значения:
[ \text{Площадь}\text{треугольника} = \frac{1}{2} \times 27 \times 18 ]
[ \text{Площадь}\text{треугольника} = \frac{1}{2} \times 486 ]
[ \text{Площадь}_\text{треугольника} = 243 \, \text{см}^2 ]
Так как таких треугольников три, общая площадь боковой поверхности:
[ \text{Площадь}\text{боковой поверхности} = 3 \times 243 ]
[ \text{Площадь}\text{боковой поверхности} = 729 \, \text{см}^2 ]
Итак, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 729 см².