Вычислите а) ( sin a - cos a) в квадрате + 2 sin a * cos a б) tg a + ctg a, eсли sin a cos a=0,2

Чтобы решить эти задачи, давайте разберемся с каждой из них по отдельности.

а) Выражение ((\sin a - \cos a)^2 + 2 \sin a \cos a).

Первым шагом будет раскрытие скобок в первой части выражения:

[ (\sin a - \cos a)^2 = (\sin a)^2 - 2 \sin a \cos a + (\cos a)^2 ]

Теперь подставим это в исходное выражение:

[ (\sin a)^2 - 2 \sin a \cos a + (\cos a)^2 + 2 \sin a \cos a ]

Обратите внимание, что (-2 \sin a \cos a) и (+2 \sin a \cos a) взаимно уничтожаются:

[ (\sin a)^2 + (\cos a)^2 ]

Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что:

[ (\sin a)^2 + (\cos a)^2 = 1 ]

Таким образом, результат для первого выражения равен 1.

б) Выражение (\tan a + \cot a), при условии (\sin a \cos a = 0.2).

Сначала выразим (\tan a) и (\cot a) через (\sin a) и (\cos a):

[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ] [ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} ]

Теперь подставим это в выражение (\tan a + \cot a):

[ \tan a + \cot a = \frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\sin a} ]

Приведем эти дроби к общему знаменателю:

[ \tan a + \cot a = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a \cos a} ]

Снова используем основное тригонометрическое тождество (\sin^2 a + \cos^2 a = 1):

[ \tan a + \cot a = \frac{1}{\sin a \cos a} ]

Учитывая, что (\sin a \cos a = 0.2), подставим это значение:

[ \tan a + \cot a = \frac{1}{0.2} = 5 ]

Таким образом, результат для второго выражения равен 5.

Итак, ответы: а) 1 б) 5

а) (sin a - cos a)^2 + 2sin a cos a = sin^2 a - 2sin a cos a + cos^2 a + 2sin a cos a = sin^2 a - 2sin a cos a + cos^2 a + 2sin a * cos a = sin^2 a + cos^2 a = 1

б) Если sin a cos a = 0.2, то tg a + ctg a = sin a / cos a + cos a / sin a = (sin^2 a + cos^2 a) / (sin a cos a) = 1 / 0.2 = 5