Вычислить значение производной функции : х^3/3 - 5х^2/2 +3х в точке х0=2

Для вычисления значения производной функции в точке (x_0 = 2), нам необходимо найти производную данной функции и подставить значение (x = 2) в полученное выражение.

Исходная функция: (f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 3x)

Чтобы найти производную функции, нужно продифференцировать каждый член по отдельности. Производная суммы равна сумме производных, производная константы равна нулю, производная степенной функции (x^n) равна (nx^{n-1}).

(f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3}) - \frac{d}{dx}(\frac{5x^2}{2}) + \frac{d}{dx}(3x))

(f'(x) = x^2 - 5x + 3)

Теперь, чтобы найти значение производной в точке (x_0 = 2), подставим (x = 2) в выражение для производной:

(f'(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 3)

(f'(2) = 4 - 10 + 3)

(f'(2) = -3)

Таким образом, значение производной функции в точке (x_0 = 2) равно (-3).

Для того чтобы найти значение производной функции ( f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 3x ) в точке ( x_0 = 2 ), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции ( f(x) ).

   Для нахождения производной функции ( f(x) ) воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

   [ f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 3x ]

   Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

   • Производная от ( \frac{x^3}{3} ): [ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2 ]

   • Производная от ( \frac{5x^2}{2} ): [ \frac{d}{dx} \left( \frac{5x^2}{2} \right) = \frac{5}{2} \cdot 2x = 5x ]

   • Производная от ( 3x ): [ \frac{d}{dx} \left( 3x \right) = 3 ]

   Таким образом, производная функции ( f(x) ) будет:

   [ f'(x) = x^2 - 5x + 3 ]

2. Подставить значение ( x_0 = 2 ) в производную ( f'(x) ).

   Теперь, когда у нас есть ( f'(x) ), подставим ( x_0 = 2 ) в эту производную:

   [ f'(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 3 ]

   Выполним вычисления:

   [ f'(2) = 4 - 10 + 3 ]

   [ f'(2) = -3 ]

3. Заключение.

   Значение производной функции ( f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 3x ) в точке ( x_0 = 2 ) равно (-3).

Таким образом, ( f'(2) = -3 ).