Вычислить значение производной функции : х^3/3 - 5х^2/2 +3х в точке х0=2

Для вычисления значения производной функции в точке $x_0=2$, нам необходимо найти производную данной функции и подставить значение $x=2$ в полученное выражение.

Исходная функция: $f(x$ = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 3x)

Чтобы найти производную функции, нужно продифференцировать каждый член по отдельности. Производная суммы равна сумме производных, производная константы равна нулю, производная степенной функции $x^n$ равна $n{x}^{n-1}$.

$f^{\prime }(x$ = \frac{d}{dx}$\frac{x^3}{3}$ - \frac{d}{dx}$\frac{5x^2}{2}$ + \frac{d}{dx}$3x$)

$f^{\prime }(x$ = x^2 - 5x + 3)

Теперь, чтобы найти значение производной в точке $x_0=2$, подставим $x=2$ в выражение для производной:

$f^{\prime }(2$ = 2^2 - 5 \cdot 2 + 3)

$f^{\prime }(2$ = 4 - 10 + 3)

$f^{\prime }(2$ = -3)

Таким образом, значение производной функции в точке $x_0=2$ равно $-3$.

Для того чтобы найти значение производной функции $f(x$ = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 3x ) в точке $x_0=2$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции $f(x$ ).

   Для нахождения производной функции $f(x$ ) воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

   $f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+3x$

   Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

   • Производная от $\frac{x^3}{3}$: $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2$

   • Производная от $\frac{5x^2}{2}$: $\frac{d}{dx}\left(\frac{5x^2}{2}\right)=\frac{5}{2}\cdot 2x=5x$

   • Производная от $3x$: $\frac{d}{dx}\left(3x\right)=3$

   Таким образом, производная функции $f(x$ ) будет:

   $f^{\prime }(x)=x^2-5x+3$

2. Подставить значение $x_0=2$ в производную $f^{\prime }(x$ ).

   Теперь, когда у нас есть $f^{\prime }(x$ ), подставим $x_0=2$ в эту производную:

   $f^{\prime }(2)=2^2-5\cdot 2+3$

   Выполним вычисления:

   $f^{\prime }(2)=4-10+3$

   $f^{\prime }(2)=-3$

3. Заключение.

   Значение производной функции $f(x$ = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 3x ) в точке $x_0=2$ равно $-3$.

Таким образом, $f^{\prime }(2$ = -3 ).