Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^3, y=1, x=2.

Тематика Математика
Уровень 10 - 11 классы
площадь фигура математика интеграл график функции
0

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^3, y=1, x=2.

avatar
задан 10 месяцев назад

2 Ответа

0

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=x^3, y=1 и x=2, необходимо найти точки пересечения этих линий.

  1. Начнем с точки пересечения y=x^3 и y=1. Подставим y=1 в уравнение y=x^3: 1=x^3. Решив это уравнение, получаем x=1.
  2. Теперь найдем точку пересечения y=x^3 и x=2. Подставим x=2 в уравнение y=x^3: y=2^3=8. Таким образом, у нас есть три точки: 1,1, 2,8 и 2,1. Теперь построим график этих линий и найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь можно вычислить как интеграл от функции x^3 до функции 1 по x от 1 до 2. ∫1,2 1x3dx = xx4/4 1,2 = 22/4 - 11/4 = 1.5 - 0.75 = 0.75. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3, y=1 и x=2, равна 0.75.

avatar
ответил 10 месяцев назад
0

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями: y = x^3, y = 1 и x = 2, необходимо сначала понять геометрию задачи и границы интегрирования.

  1. Определение границ интегрирования:

    • По оси x границы заданы как от 0 до 2, потому что кубическая функция y = x^3 растет от 0 до 8, когда x изменяется от 0 до 2, и нас интересует участок до x = 2.
    • По оси y верхняя граница задается функцией y = 1, так как другая граница по y — это кубическая кривая.
  2. Разделение на две области:

    • Необходимо найти точку пересечения кривых y = x^3 и y = 1. Приравниваем: x3=1x=1. Таким образом, кривые пересекаются в точке 1,1.

    • Интегрирование от 0 до 1 будет включать в себя площадь под прямой y = 1 и над кривой y = x^3.

    • Интегрирование от 1 до 2 будет включать в себя площадь под прямой y = 1 и над кривой y = x^3.
  3. Вычисление интегралов:

    • Интегрируем разность между верхней границей y=1 и функцией y=x3: Площадь=02(1x3)dx.

    • Вычисляем интеграл: [ \int{0}^{2} 1x3 \, dx = \int{0}^{2} 1 \, dx - \int_{0}^{2} x^3 \, dx. ]

    • Первый интеграл дает площадь прямоугольника: 021dx=2.

    • Второй интеграл — это интеграл от куба: [ \int{0}^{2} x^3 \, dx = \leftMissing or unrecognized delimiter for \right{0}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{0}{4} = 4. ]

    • Объединяем результаты: Площадь=24=2. Но площадь не может быть отрицательной, значит, правильный ответ — это абсолютное значение: Площадь=2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3, y = 1 и x = 2, равна 2 квадратным единицам.

avatar
ответил 10 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме