Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^3, y=1, x=2.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=x^3, y=1 и x=2, необходимо найти точки пересечения этих линий.

1. Начнем с точки пересечения y=x^3 и y=1. Подставим y=1 в уравнение y=x^3: 1=x^3. Решив это уравнение, получаем x=1.
2. Теперь найдем точку пересечения y=x^3 и x=2. Подставим x=2 в уравнение y=x^3: y=2^3=8. Таким образом, у нас есть три точки: (1,1), (2,8) и (2,1). Теперь построим график этих линий и найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь можно вычислить как интеграл от функции x^3 до функции 1 по x от 1 до 2. ∫(1,2) (1-x^3)dx = [x-x^4/4] (1,2) = [2-2/4] - [1-1/4] = 1.5 - 0.75 = 0.75. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3, y=1 и x=2, равна 0.75.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями: y = x^3, y = 1 и x = 2, необходимо сначала понять геометрию задачи и границы интегрирования.

1. Определение границ интегрирования:

   • По оси x границы заданы как от 0 до 2, потому что кубическая функция y = x^3 растет от 0 до 8, когда x изменяется от 0 до 2, и нас интересует участок до x = 2.
   • По оси y верхняя граница задается функцией y = 1, так как другая граница по y — это кубическая кривая.

2. Разделение на две области:

   • Необходимо найти точку пересечения кривых y = x^3 и y = 1. Приравниваем: [ x^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1. ] Таким образом, кривые пересекаются в точке (1, 1).

   • Интегрирование от 0 до 1 будет включать в себя площадь под прямой y = 1 и над кривой y = x^3.

   • Интегрирование от 1 до 2 будет включать в себя площадь под прямой y = 1 и над кривой y = x^3.

3. Вычисление интегралов:

   • Интегрируем разность между верхней границей (y = 1) и функцией (y = x^3): [ \text{Площадь} = \int_{0}^{2} (1 - x^3) \, dx. ]

   • Вычисляем интеграл: [ \int{0}^{2} (1 - x^3) \, dx = \int{0}^{2} 1 \, dx - \int_{0}^{2} x^3 \, dx. ]

   • Первый интеграл дает площадь прямоугольника: [ \int_{0}^{2} 1 \, dx = 2. ]

   • Второй интеграл — это интеграл от куба: [ \int{0}^{2} x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]{0}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{0}{4} = 4. ]

   • Объединяем результаты: [ \text{Площадь} = 2 - 4 = -2. ] Но площадь не может быть отрицательной, значит, правильный ответ — это абсолютное значение: [ \text{Площадь} = 2. ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3, y = 1 и x = 2, равна 2 квадратным единицам.