Винни - Пух и Пятачок одновременно отправились в гости друг к другу, но поскольку Винни - Пух всю дорогу...

Для решения этой задачи давайте обозначим время, которое Винни-Пух провел в пути, как $t_W$ минут, а время, которое Пятачок провел в пути, как $t_P$ минут.

Из условия задачи нам известно, что:

1. Пятачок подошел к дому Винни-Пуха через 4 минуты после того, как они встретились.
2. Винни-Пух подошел к дому Пятачка через 1 минуту после встречи.

Когда Винни-Пух и Пятачок встретились, это произошло в какой-то момент времени $t$. После встречи:

• Пятачок прошел к дому Винни-Пуха 4 минуты, значит, он был в пути 4 минуты после встречи.
• Винни-Пух прошел к дому Пятачка 1 минуту, следовательно, он был в пути 1 минуту после встречи.

Таким образом, общее время в пути для каждого из них будет равно времени, которое они потратили до встречи, плюс время после встречи.

Теперь мы можем записать уравнения для времени в пути:

1. Время пути Пятачка: $t_P=t+4$
2. Время пути Винни-Пуха: $t_W=t+1$

В момент встречи расстояния до домов друг друга были равны, что можно представить как:

• Пятачок прошел в сторону Винни-Пуха определенное расстояние, а Винни-Пух прошел в сторону Пятачка определенное расстояние.

Эти расстояния равны, так как они встретились. Значит, мы можем записать следующее уравнение: $\text{Скорость Пятачка}\times t_P=\text{Скорость Винни-Пуха}\times t_W$

Пусть $v_P$ – скорость Пятачка, а $v_W$ – скорость Винни-Пуха. Тогда: $v_P\cdot (t+4)=v_W\cdot (t+1)$

Теперь мы можем выразить скорости через время: $\frac{v_P}{v_W}=\frac{t+1}{t+4}$

Поскольку мы не знаем скорости, но знаем, что они идут одновременно и встречаются в одной точке, мы можем воспользоваться соотношением.

Теперь подставим $t_P$ и $t_W$ в уравнение:

Подразумевая, что скорости соответствуют времени:

• Если Пятачок идет быстрее, то у него меньше времени в пути, и наоборот.

Рассмотрим разницу: $t+4-(t+1)=3$ Это показывает, что Пятачок в пути на 3 минуты дольше, чем Винни-Пух.

Теперь подставим это в уравнение для времени: $t_P=t+4$ $t_W=t+1$

Подставляя и решая систему, мы рассуждаем, что: $t+4-(t+1)=3⟹t+4=t+1+3$ Это означает, что разница в их пути: $t_P-t_W=3$

Теперь, мы можем решить:

1. Подставим $t_W=t_P-3$ в $t_W=t+1$: $t_P-3=t+1⟹t_P=t+4$

Теперь мы знаем:

• Винни-Пух: $t_W=t+1$
• Пятачок: $t_P=t+4$

Таким образом, принимая во внимание, что $t_W=t_P-3$, мы можем вычислить:

Пусть $t_P=4$ $послевстречи$: $t+4=4⟹t=0$

Теперь учитывая, что время в пути у Винни-Пуха: $t_W=0+1=1$

И у Пятачка: $t_P=0+4=4$

Таким образом, получается, что:

• Винни-Пух был в пути 1 минуту.
• Пятачок был в пути 4 минуты.

В результате, ответ:

• Винни-Пух был в пути 5 минут $1довстречи+1после$.
• Пятачок был в пути 8 минут $4довстречи+4после$.

Пусть $t_1$ — время в пути Винни-Пуха, а $t_2$ — время в пути Пятачка.

По условию, когда Винни-Пух пришёл к Пятачку, Пятачок был в пути ещё 4 минуты, а когда Пятачок пришёл к Винни-Пуху, он был в пути 1 минуту.

Таким образом, можно записать два уравнения:

1. $t_1+4=t_2+1$
2. $t_1=t_2-3$

Подставим $t_2=t_1+3$ во второе уравнение:

$t_1+4=(t_1+3$ + 1 )

Упрощаем уравнение:

$t_1+4=t_1+4$

Это уравнение всегда верно, и оно не дает нам конкретного значения. Однако, если рассмотреть это как систему, можно заметить, что раз они прошли мимо друг друга, время в пути каждого из них будет одинаковым.

Таким образом, если предположить, что они двигались с одинаковой скоростью и расстояние было равно, то:

$t_1=t_2$

И учитывая, что Пятачок пришёл через 4 минуты, а Винни - Пух через 1 минуту после встречи, можно заключить, что:

Время в пути Винни - Пуха: 5 минут, а Пятачка: 6 минут.

Давайте решим задачу, используя основы алгебры и анализа движения.

Условие:

1. Винни-Пух и Пятачок одновременно отправились в гости друг к другу.
2. Они прошли мимо друг друга, не заметив встречи.
3. После этого:
   • Пятачок дошел до дома Винни-Пуха через 4 минуты.
   • Винни-Пух дошел до дома Пятачка через 1 минуту.

Необходимо найти, сколько минут был в пути каждый из них.

Разберем задачу по этапам:

1. Обозначения:

   • Пусть расстояние между домами Винни-Пуха и Пятачка равно $L$.
   • Скорость Винни-Пуха обозначим как $v_1$ $единицрасстояниявминуту$.
   • Скорость Пятачка обозначим как $v_2$ $единицрасстояниявминуту$.
   • Пусть время, которое каждый из них провел в пути до момента встречи, равно $t$ минут $этообщеевремядоих"встречи",когдаонипрошлимимодругдруга$.

2. Идея движения до "встречи": Оба одновременно начали движение навстречу друг другу. За время $t$ Винни-Пух прошел расстояние $v_1\cdot t$, а Пятачок прошел расстояние $v_2\cdot t$. Поскольку они двигались навстречу, сумма пройденных ими расстояний равна $L$, то есть: $v_1\cdot t+v_2\cdot t=L.$

3. Движение после "встречи": После того как они прошли мимо друг друга:

   • Пятачок дошел до дома Винни-Пуха за дополнительные 4 минуты. За это время он прошел расстояние: $L-v_2\cdot t,$ так как $v_2\cdot t$ — это расстояние, которое он прошел до встречи.
   • Винни-Пух дошел до дома Пятачка за дополнительные 1 минуту. За это время он прошел расстояние: $L-v_1\cdot t,$ так как $v_1\cdot t$ — это расстояние, которое он прошел до встречи.

4. Связь времени и расстояния после встречи: Для Пятачка: $L-v_2\cdot t=v_2\cdot 4.$ Для Винни-Пуха: $L-v_1\cdot t=v_1\cdot 1.$

Решение уравнений:

Сначала выразим $L$ из первых двух уравнений:

1. Из уравнения $v_1\cdot t+v_2\cdot t=L$: $L=(v_1+v_2)\cdot t.$
2. Подставляем $L$ в уравнение для Пятачка: $(v_1+v_2)\cdot t-v_2\cdot t=v_2\cdot 4.$ Упрощаем: $v_1\cdot t=v_2\cdot 4.$
3. Подставляем $L$ в уравнение для Винни-Пуха: $(v_1+v_2)\cdot t-v_1\cdot t=v_1\cdot 1.$ Упрощаем: $v_2\cdot t=v_1\cdot 1.$

Система уравнений:

У нас есть система:

1. $v_1\cdot t=v_2\cdot 4$.
2. $v_2\cdot t=v_1\cdot 1$.

Из второго уравнения выразим $v_2$ через $v_1$ и $t$: $v_2=\frac{v_1}{t}.$

Подставляем $v_2$ в первое уравнение: $v_1\cdot t=\frac{v_1}{t}\cdot 4.$ Умножаем на $t$ $при(t\ne 0$): $v_1\cdot t^2=4\cdot v_1.$ Сокращаем на $v_1$ $при(v_1\ne 0$): $t^2=4.$ Берем положительное значение: $t=2.$

Найдем $v_1$ и $v_2$:

Из второго уравнения: $v_2=\frac{v_1}{t}=\frac{v_1}{2}.$

Подставляем в $v_1\cdot t=v_2\cdot 4$: $v_1\cdot 2=\frac{v_1}{2}\cdot 4.$ $2v_1=2v_1.$

Время в пути:

• Винни-Пух был в пути $t+1=2+1=3$ минуты.
• Пятачок был в пути $t+4=2+4=6$ минут.

Ответ:
Винни-Пух был в пути 3 минуты, Пятачок — 6 минут.