Вершины треугольника АВС имеют координаты А(2; 1; -8), В(1; -5; 0), С(8;1; -4). 1.)Докажите, что треугольник...

1.) Для доказательства того, что треугольник АВС равнобедренный, нужно показать, что две стороны треугольника равны между собой. Для этого вычислим длины сторон:

сторона AB: AB = √[(1-2)^2 + (-5-1)^2 + (0+8)^2] = √[1 + 36 + 64] = √101

сторона AC: AC = √[(8-2)^2 + (1-1)^2 + (-4+8)^2] = √[36 + 0 + 16] = √52

сторона BC: BC = √[(8-1)^2 + (1+5)^2 + (-4-0)^2] = √[49 + 36 + 16] = √101

Теперь мы видим, что AB = BC, поэтому треугольник АВС равнобедренный.

2.) Чтобы найти длину средней линии треугольника, параллельной его основанию, нужно найти среднее арифметическое координат вершин основания треугольника. В данном случае это точки A и C.

Средняя линия параллельная основанию будет проходить через точку D, где D – середина отрезка AC. Координаты точки D найдем как среднее арифметическое координат точек A и C:

D((2+8)/2; (1+1)/2; (-8-4)/2) = (5; 1; -6)

Длина средней линии, параллельной основанию, равна расстоянию между точкой B и точкой D:

BD = √[(5-1)^2 + (1+5)^2 + (-6-0)^2] = √[16 + 36 + 36] = √88 = 2√22

Таким образом, длина средней линии треугольника, параллельной его основанию, равна 2√22.

Для начала, давайте обсудим, как можно доказать, что треугольник равнобедренный, а затем найдем длину средней линии, параллельной основанию.

Шаг 1: Проверка равнобедренности треугольника

Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, необходимо показать, что длины двух из его сторон равны. Рассчитаем длины сторон треугольника с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

[ d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

1. Длина стороны AB: [ AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-5-1)^2 + (0+8)^2} = \sqrt{1 + 36 + 64} = \sqrt{101} ]

2. Длина стороны BC: [ BC = \sqrt{(8-1)^2 + (1+5)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{49 + 36 + 16} = \sqrt{101} ]

3. Длина стороны CA: [ CA = \sqrt{(8-2)^2 + (1-1)^2 + (-4+8)^2} = \sqrt{36 + 0 + 16} = \sqrt{52} ]

Так как длины сторон AB и BC равны (обе равны (\sqrt{101})), треугольник ABC равнобедренный.

Шаг 2: Нахождение длины средней линии, параллельной основанию

Средняя линия треугольника, параллельная основанию, соединяет середины двух других сторон. В нашем случае, если принять CA за основание (поскольку она не равна двум другим сторонам), то средняя линия будет соединять середины сторон AB и BC.

Найдем координаты середин сторон AB и BC:

• Середина AB: [ M = \left(\frac{2+1}{2}, \frac{1-5}{2}, \frac{-8+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2, -4\right) ]
• Середина BC: [ N = \left(\frac{1+8}{2}, \frac{-5+1}{2}, \frac{0-4}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}, -2, -2\right) ]

Длина средней линии MN: [ MN = \sqrt{\left(\frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 + (-2 + 2)^2 + (-2 + 4)^2} = \sqrt{6^2 + 0 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]

Таким образом, длина средней линии, параллельной основанию CA, равна (2\sqrt{10}).

1.) Треугольник АВС является равнобедренным, так как длины сторон AB и AC равны между собой.

2.) Длина средней линии треугольника, параллельной его основанию, равна половине суммы длин оснований. Таким образом, длина средней линии равна (AB + AC) / 2 = ((1-2)^2 + (-5-1)^2 + (0+8)^2) / 2 = √26.