Вершины треугольника АВС имеют координаты А$2;1;-8$, В$1;-5;0$, С$8;1;-4$. 1.)Докажите, что треугольник...

1.) Для доказательства того, что треугольник АВС равнобедренный, нужно показать, что две стороны треугольника равны между собой. Для этого вычислим длины сторон:

сторона AB: AB = √$(1-2{)}^2+(-5-1{)}^2+(0+8{)}^2$ = √$1+36+64$ = √101

сторона AC: AC = √$(8-2{)}^2+(1-1{)}^2+(-4+8{)}^2$ = √$36+0+16$ = √52

сторона BC: BC = √$(8-1{)}^2+(1+5{)}^2+(-4-0{)}^2$ = √$49+36+16$ = √101

Теперь мы видим, что AB = BC, поэтому треугольник АВС равнобедренный.

2.) Чтобы найти длину средней линии треугольника, параллельной его основанию, нужно найти среднее арифметическое координат вершин основания треугольника. В данном случае это точки A и C.

Средняя линия параллельная основанию будет проходить через точку D, где D – середина отрезка AC. Координаты точки D найдем как среднее арифметическое координат точек A и C:

D$(2+8$/2; $1+1$/2; $-8-4$/2) = $5;1;-6$

Длина средней линии, параллельной основанию, равна расстоянию между точкой B и точкой D:

BD = √$(5-1{)}^2+(1+5{)}^2+(-6-0{)}^2$ = √$16+36+36$ = √88 = 2√22

Таким образом, длина средней линии треугольника, параллельной его основанию, равна 2√22.

Для начала, давайте обсудим, как можно доказать, что треугольник равнобедренный, а затем найдем длину средней линии, параллельной основанию.

Шаг 1: Проверка равнобедренности треугольника

Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, необходимо показать, что длины двух из его сторон равны. Рассчитаем длины сторон треугольника с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

$d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

1. Длина стороны AB: $AB=\sqrt{(1-2{)}^2+(-5-1{)}^2+(0+8{)}^2}=\sqrt{1+36+64}=\sqrt{101}$

2. Длина стороны BC: $BC=\sqrt{(8-1{)}^2+(1+5{)}^2+(-4-0{)}^2}=\sqrt{49+36+16}=\sqrt{101}$

3. Длина стороны CA: $CA=\sqrt{(8-2{)}^2+(1-1{)}^2+(-4+8{)}^2}=\sqrt{36+0+16}=\sqrt{52}$

Так как длины сторон AB и BC равны $оберавны(\sqrt{101}$), треугольник ABC равнобедренный.

Шаг 2: Нахождение длины средней линии, параллельной основанию

Средняя линия треугольника, параллельная основанию, соединяет середины двух других сторон. В нашем случае, если принять CA за основание $посколькуонанеравнадвумдругимсторонам$, то средняя линия будет соединять середины сторон AB и BC.

Найдем координаты середин сторон AB и BC:

• Середина AB: $M=(\frac{2+1}{2},\frac{1-5}{2},\frac{-8+0}{2})=(\frac{3}{2},-2,-4)$
• Середина BC: $N=(\frac{1+8}{2},\frac{-5+1}{2},\frac{0-4}{2})=(\frac{9}{2},-2,-2)$

Длина средней линии MN: $MN=\sqrt{{(\frac{9}{2}-\frac{3}{2})}^2+(-2+2{)}^2+(-2+4{)}^2}=\sqrt{6^2+0+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

Таким образом, длина средней линии, параллельной основанию CA, равна $2\sqrt{10}$.

1.) Треугольник АВС является равнобедренным, так как длины сторон AB и AC равны между собой.

2.) Длина средней линии треугольника, параллельной его основанию, равна половине суммы длин оснований. Таким образом, длина средней линии равна $AB+AC$ / 2 = $(1-2$^2 + $-5-1$^2 + $0+8$^2) / 2 = √26.