В треугольнике АВС <А=45°,<В=60° ,ВС=3√2. Найдите АС

Для нахождения стороны АС в треугольнике АВС, нам нужно воспользоваться теоремой косинусов.

Сначала найдем сторону АВ с помощью известных углов: АВ² = АС² + СВ² - 2АССВcos$УголС$ АВ² = АС² + $3\surd 2$² - 2АС3√2cos$45°$ АВ² = АС² + 18 - 6√2*$\surd 2/2$ АВ² = АС² + 18 - 6 АВ² = АС² + 12

Теперь найдем сторону АВ с помощью теоремы синусов: sin$УголВ$ / СВ = sin$УголС$ / АВ sin$60°$ / 3√2 = sin$45°$ / АВ √3 / 3√2 = √2 / АВ √3 / 3 = √2 / АВ √3АВ = 3√2 АВ = 3√6

Подставим это значение АВ в уравнение для АС: $3\surd 6$² = АС² + 12 9*6 = АС² + 12 54 = АС² + 12 АС² = 42 АС = √42

Итак, сторона АС треугольника АВС равна √42.

Для решения задачи используем свойства треугольников и теорему синусов.

1. Определение угла С: В треугольнике сумма углов равна 180°. У нас уже известны два угла: ∠A = 45° и ∠B = 60°. Таким образом, угол ∠C можно найти следующим образом: $\angle C=180°-\angle A-\angle B=180°-45°-60°=75°.$

2. Применение теоремы синусов: Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

   В нашем случае, известна сторона ВС = 3√2, и мы будем искать сторону AC. Обозначим AC как $b$, а сторону BC $котораяравна3\surd 2$ обозначим как $a$. Тогда теорема синусов выглядит так: $\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AC}{\sin \angle B}.$

3. Вычисление синусов углов: ∠A = 45°, ∠B = 60°. Их синусы: $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},$ $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

4. Подстановка значений в теорему синусов: Подставим известные значения в формулу: $\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AC}{\sin \angle B},$ $\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.$

5. Упрощение выражения: Сначала упростим левую часть: $\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=3\cdot 2=6.$

   Теперь у нас есть уравнение: $6=\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.$

6. Решение уравнения для AC: Умножим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $AC=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$

Таким образом, длина стороны AC равна $3\sqrt{3}$.