В треугольнике АВС <А=45°,<В=60° ,ВС=3√2. Найдите АС

Для нахождения стороны АС в треугольнике АВС, нам нужно воспользоваться теоремой косинусов.

Сначала найдем сторону АВ с помощью известных углов: АВ² = АС² + СВ² - 2АССВcos(Угол С) АВ² = АС² + (3√2)² - 2АС3√2cos(45°) АВ² = АС² + 18 - 6√2*(√2/2) АВ² = АС² + 18 - 6 АВ² = АС² + 12

Теперь найдем сторону АВ с помощью теоремы синусов: sin(Угол В) / СВ = sin(Угол С) / АВ sin(60°) / 3√2 = sin(45°) / АВ √3 / 3√2 = √2 / АВ √3 / 3 = √2 / АВ √3АВ = 3√2 АВ = 3√6

Подставим это значение АВ в уравнение для АС: (3√6)² = АС² + 12 9*6 = АС² + 12 54 = АС² + 12 АС² = 42 АС = √42

Итак, сторона АС треугольника АВС равна √42.

Для решения задачи используем свойства треугольников и теорему синусов.

1. Определение угла С: В треугольнике сумма углов равна 180°. У нас уже известны два угла: ∠A = 45° и ∠B = 60°. Таким образом, угол ∠C можно найти следующим образом: [ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 60° = 75°. ]

2. Применение теоремы синусов: Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. ]

   В нашем случае, известна сторона ВС = 3√2, и мы будем искать сторону AC. Обозначим AC как ( b ), а сторону BC (которая равна 3√2) обозначим как ( a ). Тогда теорема синусов выглядит так: [ \frac{BC}{\sin ∠A} = \frac{AC}{\sin ∠B}. ]

3. Вычисление синусов углов: ∠A = 45°, ∠B = 60°. Их синусы: [ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, ] [ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

4. Подстановка значений в теорему синусов: Подставим известные значения в формулу: [ \frac{BC}{\sin ∠A} = \frac{AC}{\sin ∠B}, ] [ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. ]

5. Упрощение выражения: Сначала упростим левую часть: [ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3 \cdot 2 = 6. ]

   Теперь у нас есть уравнение: [ 6 = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. ]

6. Решение уравнения для AC: Умножим обе части уравнения на (\frac{\sqrt{3}}{2}): [ AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}. ]

Таким образом, длина стороны AC равна ( 3\sqrt{3} ).