В школе 51 пятиклассник, среди них есть Саша и Настя. Всех случайным образом делят на 3 группы по 17...

Вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе равна 2/3.

Для того чтобы найти вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе при случайном разделении 51 пятиклассника на 3 группы по 17 человек, можно воспользоваться комбинаторным подходом. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.

1. Общее количество способов разделить 51 ученика на 3 группы по 17 человек:

   Обозначим количество способов разделить 51 ученика на 3 группы по 17 человек как $N$. Чтобы учесть все возможные комбинации, используем следующий комбинаторный метод:

   $N=\frac{51!}{(17!{)}^3\cdot 3!}$

   Здесь $\frac{51!}{(17!{)}^3}$ учитывает количество способов выбрать 3 группы по 17 человек каждая из общего числа 51 ученика, а $3!$ учитывает перестановки этих 3 групп, которые мы не должны различать.

2. Количество способов, при которых Саша и Настя в одной группе:

   Рассмотрим один из двух случаев, когда и Саша и Настя находятся в одной группе. Назовем их группу Группа 1.

   • В Группу 1 уже входят Саша и Настя, значит, остается выбрать 15 учеников из оставшихся 49 $51-2=49$.

     Количество способов выбрать 15 учеников из 49:

     $(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{15})=\frac{49!}{15!(49-15)!}=\frac{49!}{15!\cdot 34!}$

   • Для остальных двух групп $Группа2иГруппа3$ остается выбрать 17 учеников из 34 оставшихся $49-15=34$.

     Количество способов выбрать 17 учеников из 34:

     $(\genfrac{}{}{0ex}{}{34}{17})=\frac{34!}{17!(34-17)!}=\frac{34!}{17!\cdot 17!}$

   • Оставшиеся 17 учеников автоматически формируют последнюю группу.

     Таким образом, количество способов распределить оставшихся 34 ученика по двум группам:

     $(\genfrac{}{}{0ex}{}{34}{17})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{17})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{34}{17})$

     Но поскольку порядок групп неважен, каждый способ распределения второй и третьей групп учитывается дважды, поэтому делим на 2:

     $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{34}{17})}{2}$

     Общее количество способов, при которых Саша и Настя в одной группе:

     $(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{15})\cdot \frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{34}{17})}{2}$

3. Вероятность:

   Вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

   $P=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{15})\cdot \frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{34}{17})}{2}}{\frac{51!}{(17!{)}^3\cdot 3!}}$

   Упрощаем это выражение:

   $P=\frac{\frac{49!}{15!\cdot 34!}\cdot \frac{34!}{17!\cdot 17!}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{51!}{(17!{)}^3\cdot 6}}$

   $P=\frac{\frac{49!}{15!\cdot 17!\cdot 17!}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{51!}{(17!{)}^3\cdot 6}}$

   $P=\frac{49!\cdot 6}{51!\cdot 2}$

   $P=\frac{6\cdot 49!}{2\cdot 51\cdot 50\cdot 49!}$

   Сокращаем $49!$ в числителе и знаменателе:

   $P=\frac{6}{2\cdot 51\cdot 50}$

   $P=\frac{3}{51\cdot 50}$

   $P=\frac{3}{2550}$

   $P=\frac{1}{850}$

Итак, вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна $\frac{1}{850}$.

Для того чтобы найти вероятность того, что и Саша и Настя окажутся в одной группе, нужно рассмотреть количество способов, которыми можно распределить их.

Сначала найдем общее количество способов разделить 51 ученика на 3 группы по 17 человек в каждой. Для этого воспользуемся формулой сочетаний: C$51,17$ * C$34,17$, где C$n,k$ - число сочетаний из n по k.

Теперь рассмотрим количество способов, которыми можно распределить Сашу и Настю в одну группу. Поскольку общее количество учеников в группе 51, то Саша и Настя могут оказаться в одной группе только в том случае, если они находятся в одной из 17-членных групп. Таким образом, количество способов, которыми можно выбрать 2 ученика из 2 $СашуиНастю$ и 15 учеников из оставшихся 49, равно C$2,2$ * C$49,15$.

Итак, вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна отношению количества способов, которыми можно распределить их в одну группу, к общему количеству способов разделить всех учеников на 3 группы: P = $C(2,2$ C$49,15$) / $C(51,17$ C$34,17$).

Данное выражение даст вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе из трех.