В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 22 а тангенс угла между боковой гранью и плоскость...

Для решения задачи нужно использовать геометрические свойства правильной четырехугольной пирамиды и тригонометрические отношения.

1. Обозначения и исходные данные:

   • Пусть $AB$ — сторона основания.
   • Вершина пирамиды — точка $S$.
   • Боковое ребро $SA=22$.
   • Тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен $\sqrt{14}$.

2. Высота пирамиды:

   • Обозначим высоту пирамиды из вершины $S$ на плоскость основания за $SO$, где $O$ — центр основания $пересечениедиагоналейквадрата$.
   • Из треугольника $SAO$ следует, что $SA$ — гипотенуза, $SO$ — высота, а $OA$ — радиус описанной окружности квадрата.

3. Угол между боковой гранью и основанием:

   • Рассмотрим треугольник $SAO$. Угол между боковой гранью $SABC$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол $\mathrm{\angle }SOA$.
   • Тангенс этого угла $\tan (\mathrm{\angle }SOA$ = \sqrt{14} ).

4. Радиус описанной окружности:

   • Радиус описанной окружности квадрата $OA$ равен половине диагонали квадрата.
   • Диагональ квадрата равна $AB\sqrt{2}$, где $AB$ — сторона основания.
   • Таким образом, $OA=\frac{AB\sqrt{2}}{2}$.

5. Тангенс угла:

   • По определению тангенса, $\tan (\mathrm{\angle }SOA$ = \frac{SO}{OA} ).
   • Из условия задачи $\tan (\mathrm{\angle }SOA$ = \sqrt{14} ), тогда: $\sqrt{14}=\frac{SO}{OA}$

6. Высота пирамиды через тангенс:

   • Подставим выражение для $OA$ в уравнение тангенса: $\sqrt{14}=\frac{SO}{\frac{AB\sqrt{2}}{2}}=\frac{2SO}{AB\sqrt{2}}$
   • Упростим уравнение: $\sqrt{14}=\frac{2SO}{AB\sqrt{2}}$ $\sqrt{14}=\frac{SO\sqrt{2}}{AB}$ $SO=AB\cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}=AB\sqrt{7}$

7. Вычисление стороны основания:

   • Используем теорему Пифагора для треугольника $SAO$: $S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2$ ${22}^2=(AB\sqrt{7}{)}^2+{\left(\frac{AB\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ $484=7A{B}^2+\frac{A{B}^2}{2}$ $484=7A{B}^2+\frac{A{B}^2}{2}=\frac{14A{B}^2+A{B}^2}{2}=\frac{15A{B}^2}{2}$ $484=\frac{15A{B}^2}{2}$ $968=15A{B}^2$ $A{B}^2=\frac{968}{15}$ $A{B}^2=\frac{968}{15}\approx 64.53$ $AB\approx \sqrt{64.53}\approx 8.03$

Таким образом, сторона основания правильной четырехугольной пирамиды приблизительно равна $8.03$.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой тангенсов. Пусть $a$ - сторона основания пирамиды, тогда тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен отношению высоты пирамиды к половине суммы длин основания и бокового ребра:

$tg(\alpha )=\frac{h}{\frac{a+22}{2}}=\sqrt{14}$

Также зная, что боковое ребро равно 22, мы можем выразить высоту пирамиды через боковое ребро и тангенс угла:

$h=22\cdot \sqrt{14}$

Теперь мы можем составить уравнение для стороны основания пирамиды:

$tg(\alpha )=\frac{h}{\frac{a+22}{2}}=\sqrt{14}$

$\sqrt{14}=\frac{22\sqrt{14}}{\frac{a+22}{2}}$

$2\sqrt{14}\cdot (a+22)=22\sqrt{14}$

$a+22=11$

$a=-11$

Таким образом, сторона основания пирамиды равна -11. Однако, такой ответ не имеет физического смысла, поэтому необходимо проверить расчеты и найти ошибку.

Для нахождения стороны основания пирамиды используем формулу тангенса угла: tg$угол$ = противолежащий катет / прилежащий катет tg$угол$ = 22 / сторона основания √14 = 22 / сторона основания сторона основания = 22 / √14 = 22 / 3.74 ≈ 5.88