В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 22 а тангенс угла между боковой гранью и плоскость...

Для решения задачи нужно использовать геометрические свойства правильной четырехугольной пирамиды и тригонометрические отношения.

1. Обозначения и исходные данные:

   • Пусть ( AB ) — сторона основания.
   • Вершина пирамиды — точка ( S ).
   • Боковое ребро ( SA = 22 ).
   • Тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен ( \sqrt{14} ).

2. Высота пирамиды:

   • Обозначим высоту пирамиды из вершины ( S ) на плоскость основания за ( SO ), где ( O ) — центр основания (пересечение диагоналей квадрата).
   • Из треугольника ( SAO ) следует, что ( SA ) — гипотенуза, ( SO ) — высота, а ( OA ) — радиус описанной окружности квадрата.

3. Угол между боковой гранью и основанием:

   • Рассмотрим треугольник ( SAO ). Угол между боковой гранью ( SABC ) и плоскостью основания ( ABCD ) — это угол ( \angle SOA ).
   • Тангенс этого угла ( \tan(\angle SOA) = \sqrt{14} ).

4. Радиус описанной окружности:

   • Радиус описанной окружности квадрата ( OA ) равен половине диагонали квадрата.
   • Диагональ квадрата равна ( AB \sqrt{2} ), где ( AB ) — сторона основания.
   • Таким образом, ( OA = \frac{AB \sqrt{2}}{2} ).

5. Тангенс угла:

   • По определению тангенса, ( \tan(\angle SOA) = \frac{SO}{OA} ).
   • Из условия задачи ( \tan(\angle SOA) = \sqrt{14} ), тогда: [ \sqrt{14} = \frac{SO}{OA} ]

6. Высота пирамиды через тангенс:

   • Подставим выражение для ( OA ) в уравнение тангенса: [ \sqrt{14} = \frac{SO}{\frac{AB \sqrt{2}}{2}} = \frac{2 SO}{AB \sqrt{2}} ]
   • Упростим уравнение: [ \sqrt{14} = \frac{2 SO}{AB \sqrt{2}} ] [ \sqrt{14} = \frac{SO \sqrt{2}}{AB} ] [ SO = AB \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = AB \sqrt{7} ]

7. Вычисление стороны основания:

   • Используем теорему Пифагора для треугольника ( SAO ): [ SA^2 = SO^2 + OA^2 ] [ 22^2 = (AB \sqrt{7})^2 + \left(\frac{AB \sqrt{2}}{2}\right)^2 ] [ 484 = 7 AB^2 + \frac{AB^2}{2} ] [ 484 = 7 AB^2 + \frac{AB^2}{2} = \frac{14 AB^2 + AB^2}{2} = \frac{15 AB^2}{2} ] [ 484 = \frac{15 AB^2}{2} ] [ 968 = 15 AB^2 ] [ AB^2 = \frac{968}{15} ] [ AB^2 = \frac{968}{15} \approx 64.53 ] [ AB \approx \sqrt{64.53} \approx 8.03 ]

Таким образом, сторона основания правильной четырехугольной пирамиды приблизительно равна ( 8.03 ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой тангенсов. Пусть (a) - сторона основания пирамиды, тогда тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен отношению высоты пирамиды к половине суммы длин основания и бокового ребра:

[tg(\alpha) = \frac{h}{\frac{a + 22}{2}} = \sqrt{14}]

Также зная, что боковое ребро равно 22, мы можем выразить высоту пирамиды через боковое ребро и тангенс угла:

[h = 22 \cdot \sqrt{14}]

Теперь мы можем составить уравнение для стороны основания пирамиды:

[tg(\alpha) = \frac{h}{\frac{a + 22}{2}} = \sqrt{14}]

[\sqrt{14} = \frac{22\sqrt{14}}{\frac{a + 22}{2}}]

[2\sqrt{14}\cdot(a + 22) = 22\sqrt{14}]

[a + 22 = 11]

[a = -11]

Таким образом, сторона основания пирамиды равна -11. Однако, такой ответ не имеет физического смысла, поэтому необходимо проверить расчеты и найти ошибку.

Для нахождения стороны основания пирамиды используем формулу тангенса угла: tg(угол) = противолежащий катет / прилежащий катет tg(угол) = 22 / сторона основания √14 = 22 / сторона основания сторона основания = 22 / √14 = 22 / 3.74 ≈ 5.88