В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором—30 деталей, из них 24 стандартных;...

Для решения этой задачи нам нужно определить общую вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу выбранного ящика будет стандартной. Мы используем закон полной вероятности, который позволяет вычислить вероятность события, учитывая все возможные пути его наступления.

1. Определим вероятности выбора ящика:

   • Вероятность выбора первого ящика ( P(A_1) ) равна отношению количества деталей в первом ящике к общему количеству деталей: [ P(A_1) = \frac{20}{20 + 30 + 10} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} ]

   • Вероятность выбора второго ящика ( P(A_2) ): [ P(A_2) = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} ]

   • Вероятность выбора третьего ящика ( P(A_3) ): [ P(A_3) = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} ]

2. Определим условные вероятности извлечения стандартной детали из каждого ящика:

   • Вероятность того, что извлеченная деталь из первого ящика стандартная ( P(S|A_1) ): [ P(S|A_1) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} ]

   • Вероятность того, что извлеченная деталь из второго ящика стандартная ( P(S|A_2) ): [ P(S|A_2) = \frac{24}{30} = \frac{4}{5} ]

   • Вероятность того, что извлеченная деталь из третьего ящика стандартная ( P(S|A_3) ): [ P(S|A_3) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} ]

3. Вычислим общую вероятность того, что извлеченная деталь стандартная, используя закон полной вероятности:

   [ P(S) = P(S|A_1) \cdot P(A_1) + P(S|A_2) \cdot P(A_2) + P(S|A_3) \cdot P(A_3) ]

   Подставим найденные значения:

   [ P(S) = \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6}\right) ]

   [ P(S) = \frac{3}{12} + \frac{4}{10} + \frac{3}{30} ]

   Приведем к общему знаменателю:

   [ P(S) = \frac{15}{60} + \frac{24}{60} + \frac{6}{60} ]

   [ P(S) = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} ]

Таким образом, вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика будет стандартной, равна (\frac{3}{4}) или 0.75.

Всего стандартных деталей: 15 + 24 + 6 = 45 Всего деталей: 20 + 30 + 10 = 60 Вероятность извлечь стандартную деталь: 45 / 60 = 3/4 = 0.75 (или 75%)

Для нахождения вероятности того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика будет стандартной, нужно сложить вероятности для каждого ящика, умноженные на вероятность выбора этого ящика.

Пусть событие A - извлечение стандартной детали, событие B1 - выбор первого ящика, событие B2 - выбор второго ящика, событие B3 - выбор третьего ящика.

Тогда вероятность P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3) = (15/20)(1/3) + (24/30)(1/3) + (6/10)(1/3) = (3/4)(1/3) + (4/5)(1/3) + (3/5)(1/3) = 1/4 + 4/15 + 3/15 = 15/60 + 16/60 + 9/60 = 40/60 = 2/3.

Итак, вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будет стандартной, равна 2/3.