В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных.найти вероятность того, что среди шести наугад деталей...

Для решения задачи о вероятности того, что среди шести наугад выбранных деталей будет 4 стандартных и 2 бракованных, сначала нужно определить количество стандартных и бракованных деталей в партии.

В данной партии из 12 деталей:

• 7 стандартных
• 5 бракованных $12-7=5$

Теперь мы ищем вероятность того, что из 6 выбранных деталей будет 4 стандартных и 2 бракованных. Для этого можно использовать комбинаторные формулы.

1. Найдем количество способов выбрать 4 стандартные детали из 7. Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента:

$C(7,4)=\frac{7!}{4!(7-4)!}=\frac{7!}{4!\cdot 3!}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$

1. Теперь найдем количество способов выбрать 2 бракованные детали из 5. Это также можно сделать с помощью биномиального коэффициента:

$C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$

1. Теперь найдем общее количество способов выбрать 6 деталей из 12. Это также делается с помощью биномиального коэффициента:

$C(12,6)=\frac{12!}{6!(12-6)!}=\frac{12!}{6!\cdot 6!}=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=924$

1. Теперь найдем общее количество благоприятных случаев, когда выбираются 4 стандартные и 2 бракованные детали. Это будет произведение количества способов выбрать стандартные и бракованные детали:

$\text{Благоприятные случаи}=C(7,4)\cdot C(5,2)=35\cdot 10=350$

1. Теперь можем найти вероятность того, что среди 6 выбранных деталей будет 4 стандартных и 2 бракованных. Вероятность $P$ вычисляется как отношение количества благоприятных случаев к общему количеству способов выбрать 6 деталей:

$P=\frac{\text{Благоприятные случаи}}{\text{Общее количество способов}}=\frac{350}{924}$

1. Упростим дробь:

   Для упрощения дроби $\frac{350}{924}$, найдем наибольший общий делитель $НОД$ числителя и знаменателя. НОД$350,924$ = 14.

   Теперь делим числитель и знаменатель на 14:

$P=\frac{350÷14}{924÷14}=\frac{25}{66}$

Таким образом, вероятность того, что среди шести наугад выбранных деталей будет 4 стандартных и 2 бракованных, составляет $\frac{25}{66}$.

Чтобы найти вероятность того, что среди шести наугад выбранных деталей будут 4 стандартных и 2 бракованных, воспользуемся формулой для вычисления вероятности сочетаний.

Обозначим:

• Стандартные детали: 7
• Бракованные детали: 5 $из12деталей-7стандартных$
• Всего деталей: 12
• Выбираем: 6

Нам нужно выбрать 4 стандартные детали из 7 и 2 бракованные детали из 5.

Количество способов выбрать 4 стандартные детали: $C(7,4)=\frac{7!}{4!(7-4)!}=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$

Количество способов выбрать 2 бракованные детали: $C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$

Общее количество способов выбрать 6 деталей из 12: $C(12,6)=\frac{12!}{6!(12-6)!}=924$

Теперь находим общее количество способов выбрать 4 стандартные и 2 бракованные: $21\times 10=210$

Вероятность того, что среди шести выбранных деталей будет 4 стандартных и 2 бракованных: $P=\frac{210}{924}\approx 0.227$

Итак, вероятность составляет примерно 0.227 или 22.7%.

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

• Всего деталей: $n=12$,
• Стандартных деталей: $k=7$,
• Бракованных деталей: $n-k=12-7=5$,
• Из этих 12 деталей выбираем 6 случайным образом,
• Нужно найти вероятность того, что из выбранных 6 деталей:
  • $x_1=4$ стандартные,
  • $x_2=2$ бракованные.

Решение:

1. Используем формулу для вычисления вероятности:

Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. В нашем случае: $P=\frac{\text{число способов выбрать 4 стандартные и 2 бракованные}}{\text{общее число способов выбрать 6 деталей из 12}}.$

2. Общее число способов выбрать 6 деталей из 12:

Общее число способов выбрать 6 деталей из 12 вычисляется с помощью биномиального коэффициента: $C_{12,6}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6})=\frac{12!}{6!\cdot (12-6)!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=924.$

3. Число способов выбрать 4 стандартные детали из 7:

Число способов выбрать 4 стандартные детали из 7 тоже определяется биномиальным коэффициентом: $C_{7,4}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4})=\frac{7!}{4!\cdot (7-4)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35.$

4. Число способов выбрать 2 бракованные детали из 5:

Число способов выбрать 2 бракованные детали из 5: $C_{5,2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10.$

5. Число благоприятных исходов:

Для каждой комбинации 4 стандартных и 2 бракованных деталей можно пересчитать число благоприятных исходов. Это произведение: [ C{7,4} \cdot C{5,2} = 35 \cdot 10 = 350. ]

6. Вероятность события:

Подставляем все значения в формулу вероятности: [ P = \frac{C{7,4} \cdot C{5,2}}{C_{12,6}} = \frac{350}{924}. ]

Упрощаем дробь: $P=\frac{350}{924}=\frac{175}{462}.$

7. Ответ:

Итак, вероятность того, что среди выбранных 6 деталей окажется 4 стандартных и 2 бракованных, равна: $P=\frac{175}{462}\approx 0.3788\text{(или 37.88\%)}.$