В однокруговом футбольном турнире $каждаякомандаскаждойсыграларовнопоодномуматчу$ участвовало...

Для начала посчитаем общее количество матчей в турнире, где участвует 7 команд и каждая команда играет с каждой один раз. Количество матчей в таком турнире будет равно количеству сочетаний из 7 по 2, то есть $C_7^2=\frac{7\times 6}{2}=21$ матч.

Каждый матч может закончиться либо победой одной из команд $3очкапобедителю,0проигравшему$, либо ничьей $по1очкукаждойкоманде$. Если бы все матчи закончились победой одной из команд, то всего было бы раздано $3\times 21=63$ очка. Но по условию в турнире было 6 ничьих, что означает, что в этих матчах было раздано $6\times 2=12$ очков вместо 18 $еслибыкаждыйизэтихматчейзакончилсяпобедой$. Таким образом, общее количество очков, разданных в турнире, составляет $63-6=57$ очков.

Теперь рассмотрим условие, что команды, занявшие призовые места, набрали ровно половину всех очков. Это значит, что они вместе должны были набрать $\frac{57}{2}=28.5$ очков. Однако количество очков не может быть дробным числом, так как за каждый матч начисляются целые очки. Следовательно, призовые команды не могли набрать ровно половину всех очков в виде дробного числа.

Таким образом, исходя из анализа количества очков, невозможно, чтобы команды, занявшие призовые места, набрали ровно половину всех очков, если в турнире было ровно 6 ничьих. Это противоречит условию задачи, следовательно, ответ — нет, это не могло произойти.

Да, могло. Если по итогам турнира в 7 командах было ровно 6 ничьих, то это означает, что каждая команда набрала по 1 очку за каждую из ничьих. Таким образом, общее количество очков, заработанных призовыми командами, равно 6 $1очкозакаждуюничью$ + 6 × 3 = 24 очка. Поскольку команд всего 7, то половина всех очков равна 24 / 2 = 12 очков.

Таким образом, при условии, что команды, занявшие призовые места, набрали 12 очков, общее количество очков в турнире было равно 24. Так как за каждую победу давалось 3 очка, то общее количество побед в турнире равнялось 8 $24/3=8$. Поскольку каждая команда сыграла ровно по одному матчу, то всего было сыграно 7 матчей $каждаякомандасыграла6матчей$.

Таким образом, общее количество очков в турнире равно 24, общее количество побед равно 8, и общее количество матчей равно 7. Это значит, что возможно, чтобы по итогам турнира было ровно 6 ничьих.