В однокруговом футбольном турнире (каждая команда с каждой сыграла ровно по одному матчу) участвовало 7 команд. По итогам турнира оказалось, что команды, занявшие призовые места, набрали ровно половину всех очков. Могло ли по итогам турнира оказаться ровно 6 ничьих? (За победу даѐтся 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0.)
Для начала посчитаем общее количество матчей в турнире, где участвует 7 команд и каждая команда играет с каждой один раз. Количество матчей в таком турнире будет равно количеству сочетаний из 7 по 2, то есть ( C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21 ) матч.
Каждый матч может закончиться либо победой одной из команд (3 очка победителю, 0 проигравшему), либо ничьей (по 1 очку каждой команде). Если бы все матчи закончились победой одной из команд, то всего было бы раздано ( 3 \times 21 = 63 ) очка. Но по условию в турнире было 6 ничьих, что означает, что в этих матчах было раздано ( 6 \times 2 = 12 ) очков вместо 18 (если бы каждый из этих матчей закончился победой). Таким образом, общее количество очков, разданных в турнире, составляет ( 63 - 6 = 57 ) очков.
Теперь рассмотрим условие, что команды, занявшие призовые места, набрали ровно половину всех очков. Это значит, что они вместе должны были набрать ( \frac{57}{2} = 28.5 ) очков. Однако количество очков не может быть дробным числом, так как за каждый матч начисляются целые очки. Следовательно, призовые команды не могли набрать ровно половину всех очков в виде дробного числа.
Таким образом, исходя из анализа количества очков, невозможно, чтобы команды, занявшие призовые места, набрали ровно половину всех очков, если в турнире было ровно 6 ничьих. Это противоречит условию задачи, следовательно, ответ — нет, это не могло произойти.
Да, могло. Если по итогам турнира в 7 командах было ровно 6 ничьих, то это означает, что каждая команда набрала по 1 очку за каждую из ничьих. Таким образом, общее количество очков, заработанных призовыми командами, равно 6 (1 очко за каждую ничью) + 6 × 3 = 24 очка. Поскольку команд всего 7, то половина всех очков равна 24 / 2 = 12 очков.
Таким образом, при условии, что команды, занявшие призовые места, набрали 12 очков, общее количество очков в турнире было равно 24. Так как за каждую победу давалось 3 очка, то общее количество побед в турнире равнялось 8 (24 / 3 = 8). Поскольку каждая команда сыграла ровно по одному матчу, то всего было сыграно 7 матчей (каждая команда сыграла 6 матчей).
Таким образом, общее количество очков в турнире равно 24, общее количество побед равно 8, и общее количество матчей равно 7. Это значит, что возможно, чтобы по итогам турнира было ровно 6 ничьих.
