В Кубе ABCDA1B1C1D1 точка M - центр грани BB1C1C . Найдите угол между прямыми AM и DB1 ? Помогите решить...

Давайте подробно разберем задачу.

1. Определение положения точек:

У нас есть куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Обозначим длину ребра куба как $a$.

• Точка $A$ — начальная точка координат: $(0,0,0$ ).
• Точка $B$ — на оси $x$: $(a,0,0$ ).
• Точка $C$ — на плоскости $xOy$: $(a,a,0$ ).
• Точка $D$ — на оси $y$: $(0,a,0$ ).
• Точка $A_1$ — на оси $z$: $(0,0,a$ ).
• Точка $B_1$ — на прямой $xOz$: $(a,0,a$ ).
• Точка $C_1$ — на прямой $xOy$: $(a,a,a$ ).
• Точка $D_1$ — на прямой $yOz$: $(0,a,a$ ).

Теперь уточним положение точки $M$, которая является центром грани $B{B}_1{C}_{1}C$. Эта грань лежит в плоскости $xOz$, так как $y=a$ для всех её точек.

• Точка $M$ — это центр грани $B{B}_1{C}_{1}C$. Координаты $M$ равны среднему арифметическому координат вершин этой грани: [ M = \left( \frac{xB + x{B1} + x{C_1} + x_C}{4}, \frac{yB + y{B1} + y{C_1} + y_C}{4}, \frac{zB + z{B1} + z{C_1} + z_C}{4} \right). ] Подставляем:

  • ( xB = x{B1} = x{C_1} = x_C = a ),
  • ( yB = y{B1} = y{C_1} = y_C = 0 ),
  • ( zB = 0 ), ( z{B1} = z{C_1} = z_C = a ).

  Тогда: $M=(\frac{a+a+a+a}{4},\frac{0+0+0+0}{4},\frac{0+a+a+a}{4})=(a,0,\frac{3a}{4}).$

Итак, координаты $M$: $(a,0,\frac{3a}{4}$ ).

2. Определение направляющих векторов:

Нам нужно найти угол между прямыми $AM$ и $D{B}_1$. Чтобы это сделать, нужно записать направляющие векторы для этих прямых.

Вектор $\overrightarrow{AM}$:

• Координаты $A$: $(0,0,0$ ),
• Координаты $M$: $(a,0,\frac{3a}{4}$ ).

Вектор: $\overrightarrow{AM}=M-A=(a-0,0-0,\frac{3a}{4}-0)=(a,0,\frac{3a}{4}).$

Вектор $\overrightarrow{D{B}_1}$:

• Координаты $D$: $(0,a,0$ ),
• Координаты $B_1$: $(a,0,a$ ).

Вектор: $\overrightarrow{D{B}_1}=B_1-D=(a-0,0-a,a-0)=(a,-a,a).$

3. Угол между векторами:

Угол между двумя векторами $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ вычисляется по формуле: $\cos \phi =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|},$ где:

• $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ — скалярное произведение векторов,
• $|\overrightarrow{u}|$ и $|\overrightarrow{v}|$ — длины векторов.

Скалярное произведение:

$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{D{B}_1}=(a,0,\frac{3a}{4})\cdot (a,-a,a)=a\cdot a+0\cdot (-a)+\frac{3a}{4}\cdot a=a^2+0+\frac{3a^2}{4}=\frac{7a^2}{4}.$

Длина $|\overrightarrow{AM}|$:

$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{a^2+0^2+{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=\sqrt{a^2+\frac{9a^2}{16}}=\sqrt{\frac{16a^2}{16}+\frac{9a^2}{16}}=\sqrt{\frac{25a^2}{16}}=\frac{5a}{4}.$

Длина $|\overrightarrow{D{B}_1}|$:

$|\overrightarrow{D{B}_1}|=\sqrt{a^2+(-a{)}^2+a^2}=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$

Косинус угла:

$\cos \phi =\frac{\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{D{B}_1}}{|\overrightarrow{AM}|\cdot |\overrightarrow{D{B}_1}|}=\frac{\frac{7a^2}{4}}{\frac{5a}{4}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{\frac{7a^2}{4}}{\frac{5a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{7}{5\sqrt{3}}.$

Угол $\phi$:

$\phi =\arccos \left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right).$

Ответ:

Угол между прямыми $AM$ и $D{B}_1$: $\phi =\arccos \left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right).$

Чтобы найти угол между прямыми $AM$ и $D{B}_1$ в кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, сначала определим координаты точек:

• Пусть $A(0,0,0$ )
• $B(1,0,0$ )
• $C(1,1,0$ )
• $D(0,1,0$ )
• $A_1(0,0,1$ )
• $B_1(1,0,1$ )
• $C_1(1,1,1$ )
• $D_1(0,1,1$ )

Точка $M$ - центр грани $B{B}_1{C}_{1}C$. Координаты точки $M$ будут:

$M(\frac{1+1+1}{3},\frac{0+1+1}{3},\frac{0+1+1}{3})=(1,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$

Теперь найдем векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{D{B}_1}$:

$\overrightarrow{AM}=M-A=(1-0,\frac{2}{3}-0,\frac{1}{3}-0)=(1,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$

$\overrightarrow{D{B}_1}=B_1-D=(1-0,0-1,1-0)=(1,-1,1)$

Теперь найдем угол между векторами $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{D{B}_1}$ с помощью скалярного произведения:

$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{D{B}_1}=1\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot (-1)+\frac{1}{3}\cdot 1=1-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Далее найдем длины векторов:

$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{1^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}=\sqrt{1+\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{14}{9}}=\frac{\sqrt{14}}{3}$

$|\overrightarrow{D{B}_1}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{3}$

Теперь можем найти косинус угла $\theta$:

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{D{B}_1}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{D{B}_1}|}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{14}}{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{14\cdot 3}}=\frac{2}{\sqrt{42}}$

Следовательно, угол $\theta$ равен:

$\theta =\arccos \left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)$

Таким образом, угол между прямыми $AM$ и $D{B}_1$ можно выразить как $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ).

Чтобы найти угол между прямыми $AM$ и $D{B}_1$ в кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, начнем с определения координат точек куба. Пусть куб имеет длину ребра $a$, и его вершины расположены в следующих координатах:

• $A(0,0,0$ )
• $B(a,0,0$ )
• $C(a,a,0$ )
• $D(0,a,0$ )
• $A_1(0,0,a$ )
• $B_1(a,0,a$ )
• $C_1(a,a,a$ )
• $D_1(0,a,a$ )

Теперь найдем координаты точки $M$, которая является центром грани $B{B}_1{C}_{1}C$. Эта грань представляет собой квадрат, и его вершины имеют координаты:

• $B(a,0,0$ )
• $B_1(a,0,a$ )
• $C_1(a,a,a$ )
• $C(a,a,0$ )

Координаты центра $M$ можно найти как среднее арифметическое координат этих точек:

$M(\frac{a+a+a+a}{4},\frac{0+0+a+a}{4},\frac{0+a+a+0}{4})=M(a,\frac{a}{2},\frac{a}{2})$

Теперь определим векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{D{B}_1}$:

1. Вектор $\overrightarrow{AM}$: $\overrightarrow{AM}=M-A=(a-0,\frac{a}{2}-0,\frac{a}{2}-0)=(a,\frac{a}{2},\frac{a}{2})$

2. Вектор $\overrightarrow{D{B}_1}$: $\overrightarrow{D{B}_1}=B_1-D=(a-0,0-a,a-0)=(a,-a,a)$

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами. Угол $\theta$ между векторами $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ определяется как:

$\cos (\theta )=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$

Сначала найдем скалярное произведение $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{D{B}_1}$:

$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{D{B}_1}=(a,\frac{a}{2},\frac{a}{2})\cdot (a,-a,a)=a^2-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2$

Теперь найдем длины векторов:

$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\sqrt{\frac{3a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$

$|\overrightarrow{D{B}_1}|=\sqrt{a^2+(-a{)}^2+a^2}=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$

Теперь подставим все в формулу для косинуса угла:

$\cos (\theta )=\frac{a^2}{(a\sqrt{\frac{3}{2}})(a\sqrt{3})}=\frac{a^2}{a^2\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 3}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Таким образом, угол $\theta$ будет равен:

$\theta =\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$

Таким образом, угол между прямыми $AM$ и $D{B}_1$ равен $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ).