В коробке лежат 2 жёлтых и 6 зеленых шариков. Из коробки не глядя достали 2 шарика. а) Можно ли утверждать, что взятые шарики одного цвета? б) Сколько надо достать шариков, чтобы среди них обязательно оказалось хотя бы 2 шарика одного цвета?
В коробке лежат 2 жёлтых и 6 зеленых шариков. Из коробки не глядя достали 2 шарика. а) Можно ли утверждать, что взятые шарики одного цвета? б) Сколько надо достать шариков, чтобы среди них обязательно оказалось хотя бы 2 шарика одного цвета?
а) Для решения этой задачи можно воспользоваться методом от противного. Предположим, что взятые шарики разного цвета. Тогда вероятность вытянуть первый жёлтый шарик равна 2/8, а второй жёлтый - 1/7. Вероятность вытянуть первый зеленый шарик равна 6/8, а второй зеленый - 5/7. Умножим вероятности вытянуть шарики разного цвета и получим общую вероятность этого события: (2/8 6/7) 2 = 12/56 = 3/14. Таким образом, вероятность того, что взятые шарики разного цвета, равна 3/14. Следовательно, вероятность того, что взятые шарики одного цвета, равна 1 - 3/14 = 11/14. Таким образом, можно утверждать, что взятые шарики скорее всего одного цвета.
б) Чтобы гарантированно получить хотя бы 2 шарика одного цвета, необходимо достать 4 шарика. Это объясняется тем, что если мы достанем 3 шарика, то могут оказаться все разного цвета (например, 2 зеленых и 1 желтый), но при доставании 4 шариков обязательно найдутся хотя бы 2 шарика одного цвета (по принципу Дирихле).
а) Нет, нельзя утверждать, что взятые шарики одного цвета. б) Чтобы среди них обязательно оказалось хотя бы 2 шарика одного цвета, нужно достать 4 шарика.
а) Для ответа на первую часть вопроса, нужно рассмотреть вероятность того, что два взятых шарика будут одного цвета. В коробке 2 жёлтых шарика и 6 зеленых. Всего шариков 8.
Чтобы оба шарика были жёлтыми, вероятность вычисляется как произведение вероятностей вытянуть жёлтый шарик при каждом из двух тяг: (2/8) * (1/7) = 1/28. Это потому что после того как первый жёлтый шарик уже взят, в коробке остаётся 1 жёлтый шарик и 6 зелёных, всего 7 шариков.
Чтобы оба шарика были зелёными, вероятность равна: (6/8) * (5/7) = 15/28. Это потому что после того как первый зелёный шарик уже взят, в коробке остаётся 5 зелёных шариков и 2 жёлтых, всего 7 шариков.
Сложив две эти вероятности, получаем вероятность того, что оба шарика будут одного цвета: 1/28 + 15/28 = 16/28 = 4/7.
Таким образом, вероятность того, что взятые шарики будут одного цвета, составляет 4/7, что меньше единицы. Следовательно, утверждать с уверенностью, что взятые шарики одного цвета, нельзя.
б) Чтобы гарантировать, что среди взятых шариков найдутся хотя бы два шарика одного цвета, нужно учесть максимально возможное количество шариков разных цветов. В коробке 2 жёлтых шарика, поэтому если вытащить 3 шарика, то даже в случае, если первые два шарика окажутся жёлтыми, третий шарик обязательно будет зелёным (или наоборот, среди первых двух будет хотя бы один зелёный, и третий может быть либо зелёным, либо жёлтым). Таким образом, чтобы обязательно получить хотя бы два шарика одного цвета, достаточно достать 3 шарика.
