Для решения задачи нужно использовать принцип включения-исключения. Обозначим количество учеников, посещающих театральный кружок, как ( T = 14 ), а количество учеников, посещающих кружок по рисованию, как ( R = 11 ). Общее количество учеников в классе ( n = 21 ). Обозначим количество учеников, которые посещают оба кружка, как ( x ).
Принцип включения-исключения для двух множеств гласит:
[ T + R - x = n ]
Подставим известные значения:
[ 14 + 11 - x = 21 ]
Решим уравнение для ( x ):
[ 25 - x = 21 ]
[ x = 4 ]
Таким образом, 4 ученика посещают оба кружка.
Теперь рассмотрим каждое утверждение:
Нет ученика, который не посещает ни театральный кружок, ни кружок по рисованию.
Проверим это утверждение. Количество учеников, которые посещают хотя бы один кружок, равно:
[ T + R - x = 14 + 11 - 4 = 21 ]
Поскольку общее количество учеников в классе также равно 21, это означает, что все ученики посещают хотя бы один кружок. Следовательно, первое утверждение верно.
Найдётся хотя бы 2 человека, которые посещают оба кружка.
Мы нашли, что ( x = 4 ). Это больше или равно 2, поэтому второе утверждение верно.
Если ученик не ходит в театральный кружок, то он обязательно ходит в кружок по рисованию.
Количество учеников, которые не посещают театральный кружок, равно:
[ n - T = 21 - 14 = 7 ]
Количество учеников, которые посещают кружок по рисованию, но не театральный кружок, равно:
[ R - x = 11 - 4 = 7 ]
Таким образом, все 7 учеников, которые не посещают театральный кружок, посещают кружок по рисованию. Следовательно, третье утверждение верно.
Не найдётся 12 человек, которые посещают оба кружка.
Мы нашли, что ( x = 4 ). Это меньше 12, поэтому четвертое утверждение верно.
Итак, верные утверждения:
1) Нет ученика, который не посещает ни театральный кружок, ни кружок по рисованию.
2) Найдётся хотя бы 2 человека, которые посещают оба кружка.
3) Если ученик не ходит в театральный кружок, то он обязательно ходит в кружок по рисованию.
4) Не найдётся 12 человек, которые посещают оба кружка.