В классе 28 учеников, которые сидят по двое за партами. Каждый день учитель пересаживает учеников так,...

Да, учитель может пересаживать учеников в течение 27 дней таким образом, чтобы все образованные попарно ученики были новыми.

Для этого существует следующий алгоритм: на первый день учитель пересаживает учеников так, чтобы каждая пара образовалась из двух учеников, которые раньше не сидели вместе. На второй день учитель опять пересаживает учеников, при этом каждый ученик уже сидит рядом с новым одноклассником, и никто не сидит рядом с тем, с кем он сидел вчера. Таким образом, за 27 дней учитель сможет пересадить всех учеников так, чтобы каждый ученик сидел рядом с каждым другим учеником ровно один раз.

Да, учитель может это сделать в течение 27 дней.

Давайте рассмотрим задачу более подробно. В классе 28 учеников, и они сидят по двое за партами, что означает, что всего 14 парт. Каждый день учитель пересаживает учеников так, чтобы каждая пара была новой, то есть чтобы ни один ученик не сидел с тем же учеником, с которым он уже сидел раньше.

Для того чтобы определить, возможно ли пересаживать учеников так, чтобы каждый день все пары были новыми в течение 27 дней, мы можем воспользоваться теорией графов.

1. Представление задачи в виде графа:

   • Представим каждого ученика как вершину графа.
   • Связь (ребро) между двумя вершинами будет означать, что эти два ученика сидят вместе за одной партой.
   • Каждый день мы формируем 14 рёбер, и все они должны быть различными.

2. Поиск числа необходимых рёбер:

   • За 27 дней нам нужно, чтобы каждая пара была уникальна.
   • В полном графе ( K_{28} ) у нас есть (\frac{28 \times 27}{2} = 378) рёбер (возможных пар), так как каждый из 28 учеников может быть в паре с каждым из оставшихся 27 учеников.

3. Вычисление числа рёбер в течение 27 дней:

   • За один день формируются 14 рёбер (14 парт).
   • За 27 дней будет создано (27 \times 14 = 378) рёбер.

4. Проверка возможности:

   • Поскольку общее количество возможных уникальных пар (рёбер) равно 378, и за 27 дней при условии, что каждый день формируется 14 новых пар, также получается 378 рёбер, задача имеет решение.

Таким образом, теоретически возможно организовать пересадку учеников так, чтобы каждый день все пары были новыми в течение 27 дней. Это является задачей на разбиение полного графа ( K{28} ) на совершенные паросочетания, и она решаема, поскольку граф ( K{28} ) является регулярным и имеет чётный порядок.

Таким образом, учитель может пересаживать учеников так, чтобы все образовавшиеся пары были новыми (раньше рядом не сидели) в течение 27 дней.