В классе 21 человек, среди них два друга - вася и витя .на уроке физкультуры класс случайным образом...

Вероятность того, что Вася и Витя попали в одну группу равна 2/7 $поскольку21человекразбиваютна3группыпо7человеккаждая$.

Для того чтобы найти вероятность того, что Вася и Витя попали в одну группу, мы можем воспользоваться методом комбинаторики.

Сначала посчитаем общее количество способов разбить 21 человек на 3 равные группы. Для этого воспользуемся формулой сочетаний: C$21,7$ * C$14,7$ = 1166803110

Теперь посчитаем количество способов, при которых Вася и Витя попадут в одну группу. Поскольку Вася и Витя могут находиться в любой из трех групп, то количество способов, при которых они будут в одной группе, равно: 2 * C$19,5$ = 116280

Итак, вероятность того, что Вася и Витя попадут в одну группу, равна отношению количества способов, при которых они находятся в одной группе, к общему количеству способов разбить класс на 3 группы: 116280 / 1166803110 = 0.0000996

Таким образом, вероятность того, что Вася и Витя попадут в одну группу, составляет примерно 0.00996%

Для того чтобы найти вероятность того, что Вася и Витя попадут в одну группу, нужно использовать комбинаторный подход.

1. Общее количество способов разбить 21 человека на 3 группы по 7 человек:

   Рассмотрим, что сначала мы выбираем первую группу из 21 человека, затем вторую группу из оставшихся, и третья группа автоматически определяется. Для этого:

   • Выбор первой группы: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{21}{7})$
   • Выбор второй группы из оставшихся 14 человек: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{7})$
   • Третья группа автоматически определяется, поэтому $(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7})=1$

   Однако, поскольку группы идентичны и порядок их выбора не важен, нам нужно учесть, что мы можем переставлять эти группы 3! $факториал$ способами. Поэтому для корректного подсчета необходимо разделить на 3.

   Общее количество способов: $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{21}{7})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{7})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7})}{3!}$

   Расчитаем это: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{21}{7})=\frac{21!}{7!\times (21-7)!}=\frac{21!}{7!\times 14!}$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{7})=\frac{14!}{7!\times (14-7)!}=\frac{14!}{7!\times 7!}$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7})=1$ $3!=6$ Подставляя всё это, получаем: $\frac{\frac{21!}{7!\times 14!}\times \frac{14!}{7!\times 7!}\times 1}{6}=\frac{21!}{7!\times 7!\times 7!\times 6}$

2. Количество способов разбить 21 человека на группы, при условии, что Вася и Витя в одной группе:

   Предположим, что Вася и Витя уже в одной группе. Тогда нам нужно выбрать еще 5 человек из оставшихся 19 для их группы: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{5})$

   После этого остаётся 16 человек, которые нужно разбить на две группы по 8 человек $однаизкоторыхавтоматическиопределится$: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{7})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{7})$

   И снова, так как группы идентичны, делим на 2!: $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{7})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{7})\times 1}{2}$

   Подставляем: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{5})=\frac{19!}{5!\times 14!}$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{7})=\frac{16!}{7!\times 9!}$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{7})=\frac{9!}{7!\times 2!}$ $2!=2$

   Общее количество способов: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{5})\times \frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{7})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{7})}{2}$ Подставляя все значения: $\frac{19!}{5!\times 14!}\times \frac{\frac{16!}{7!\times 9!}\times \frac{9!}{7!\times 2!}}{2}=\frac{19!}{5!\times 14!}\times \frac{16!}{7{!}^2\times 2}$

3. Вероятность:

   Вероятность того, что Вася и Витя окажутся в одной группе, это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. $P=\frac{\frac{19!}{5!\times 14!}\times \frac{16!}{7{!}^2\times 2}}{\frac{21!}{7{!}^3\times 6}}$

   Упрощаем: $P=\frac{\frac{19!\times 16!}{5!\times 14!\times 7{!}^2\times 2}}{\frac{21!}{7{!}^3\times 6}}=\frac{19!\times 16!\times 7{!}^3\times 6}{5!\times 14!\times 7{!}^2\times 2\times 21!}$

   Упрощаем дальше, сокращая одинаковые факториалы: $P=\frac{19!\times 16!\times 6}{5!\times 14!\times 2\times 21\times 20\times 19!}=\frac{16!\times 6}{5!\times 14!\times 2\times 21\times 20}$

   Сокращение факториалов: $P=\frac{16\times 15\times 14!\times 6}{5!\times 14!\times 2\times 21\times 20}=\frac{16\times 15\times 6}{5!\times 2\times 21\times 20}$

   Учитывая что $5!=120$: $P=\frac{16\times 15\times 6}{120\times 2\times 21\times 20}=\frac{1440}{100800}=\frac{1}{70}$

Итак, вероятность того, что Вася и Витя попадут в одну группу, равна $\frac{1}{10}$.