В классе 21 человек, среди них два друга - вася и витя .на уроке физкультуры класс случайным образом...

Вероятность того, что Вася и Витя попали в одну группу равна 2/7 (поскольку 21 человек разбивают на 3 группы по 7 человек каждая).

Для того чтобы найти вероятность того, что Вася и Витя попали в одну группу, мы можем воспользоваться методом комбинаторики.

Сначала посчитаем общее количество способов разбить 21 человек на 3 равные группы. Для этого воспользуемся формулой сочетаний: C(21, 7) * C(14, 7) = 1166803110

Теперь посчитаем количество способов, при которых Вася и Витя попадут в одну группу. Поскольку Вася и Витя могут находиться в любой из трех групп, то количество способов, при которых они будут в одной группе, равно: 2 * C(19, 5) = 116280

Итак, вероятность того, что Вася и Витя попадут в одну группу, равна отношению количества способов, при которых они находятся в одной группе, к общему количеству способов разбить класс на 3 группы: 116280 / 1166803110 = 0.0000996

Таким образом, вероятность того, что Вася и Витя попадут в одну группу, составляет примерно 0.00996%

Для того чтобы найти вероятность того, что Вася и Витя попадут в одну группу, нужно использовать комбинаторный подход.

1. Общее количество способов разбить 21 человека на 3 группы по 7 человек:

   Рассмотрим, что сначала мы выбираем первую группу из 21 человека, затем вторую группу из оставшихся, и третья группа автоматически определяется. Для этого:

   • Выбор первой группы: (\binom{21}{7})
   • Выбор второй группы из оставшихся 14 человек: (\binom{14}{7})
   • Третья группа автоматически определяется, поэтому (\binom{7}{7} = 1)

   Однако, поскольку группы идентичны и порядок их выбора не важен, нам нужно учесть, что мы можем переставлять эти группы 3! (факториал) способами. Поэтому для корректного подсчета необходимо разделить на 3.

   Общее количество способов: [ \frac{\binom{21}{7} \times \binom{14}{7} \times \binom{7}{7}}{3!} ]

   Расчитаем это: [ \binom{21}{7} = \frac{21!}{7! \times (21-7)!} = \frac{21!}{7! \times 14!} ] [ \binom{14}{7} = \frac{14!}{7! \times (14-7)!} = \frac{14!}{7! \times 7!} ] [ \binom{7}{7} = 1 ] [ 3! = 6 ] Подставляя всё это, получаем: [ \frac{\frac{21!}{7! \times 14!} \times \frac{14!}{7! \times 7!} \times 1}{6} = \frac{21!}{7! \times 7! \times 7! \times 6} ]

2. Количество способов разбить 21 человека на группы, при условии, что Вася и Витя в одной группе:

   Предположим, что Вася и Витя уже в одной группе. Тогда нам нужно выбрать еще 5 человек из оставшихся 19 для их группы: [ \binom{19}{5} ]

   После этого остаётся 16 человек, которые нужно разбить на две группы по 8 человек (одна из которых автоматически определится): [ \binom{16}{7} \times \binom{9}{7} ]

   И снова, так как группы идентичны, делим на 2!: [ \frac{\binom{16}{7} \times \binom{9}{7} \times 1}{2} ]

   Подставляем: [ \binom{19}{5} = \frac{19!}{5! \times 14!} ] [ \binom{16}{7} = \frac{16!}{7! \times 9!} ] [ \binom{9}{7} = \frac{9!}{7! \times 2!} ] [ 2! = 2 ]

   Общее количество способов: [ \binom{19}{5} \times \frac{\binom{16}{7} \times \binom{9}{7}}{2} ] Подставляя все значения: [ \frac{19!}{5! \times 14!} \times \frac{\frac{16!}{7! \times 9!} \times \frac{9!}{7! \times 2!}}{2} = \frac{19!}{5! \times 14!} \times \frac{16!}{7!^2 \times 2} ]

3. Вероятность:

   Вероятность того, что Вася и Витя окажутся в одной группе, это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. [ P = \frac{\frac{19!}{5! \times 14!} \times \frac{16!}{7!^2 \times 2}}{\frac{21!}{7!^3 \times 6}} ]

   Упрощаем: [ P = \frac{\frac{19! \times 16!}{5! \times 14! \times 7!^2 \times 2}}{\frac{21!}{7!^3 \times 6}} = \frac{19! \times 16! \times 7!^3 \times 6}{5! \times 14! \times 7!^2 \times 2 \times 21!} ]

   Упрощаем дальше, сокращая одинаковые факториалы: [ P = \frac{19! \times 16! \times 6}{5! \times 14! \times 2 \times 21 \times 20 \times 19!} = \frac{16! \times 6}{5! \times 14! \times 2 \times 21 \times 20} ]

   Сокращение факториалов: [ P = \frac{16 \times 15 \times 14! \times 6}{5! \times 14! \times 2 \times 21 \times 20} = \frac{16 \times 15 \times 6}{5! \times 2 \times 21 \times 20} ]

   Учитывая что (5! = 120): [ P = \frac{16 \times 15 \times 6}{120 \times 2 \times 21 \times 20} = \frac{1440}{100800} = \frac{1}{70} ]

Итак, вероятность того, что Вася и Витя попадут в одну группу, равна (\frac{1}{10}).