Упростите sin$a+b$+sin$a-b$/sin$a+b$-sin$a-b$

Упростим выражение:

$\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{\sin (a+b)-\sin (a-b)}$

Для упрощения воспользуемся тригонометрическими преобразованиями, а именно формулами суммы и разности синусов:

1. Формула суммы синусов: $\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

2. Формула разности синусов: $\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю.

Числитель:

$\sin (a+b)+\sin (a-b)$ Применяем формулу суммы синусов: $\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin \left(\frac{(a+b)+(a-b)}{2}\right)\cos \left(\frac{(a+b)-(a-b)}{2}\right)$ Упростим аргументы: $\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=\frac{2a}{2}=a$ $\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=\frac{2b}{2}=b$ Получаем: $\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin (a)\cos (b)$

Знаменатель:

$\sin (a+b)-\sin (a-b)$ Применяем формулу разности синусов: $\sin (a+b)-\sin (a-b)=2\cos \left(\frac{(a+b)+(a-b)}{2}\right)\sin \left(\frac{(a+b)-(a-b)}{2}\right)$ Упростим аргументы $аналогичночислителю$: $\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=a$ $\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=b$ Получаем: $\sin (a+b)-\sin (a-b)=2\cos (a)\sin (b)$

Подставляем в исходное выражение:

Теперь можем подставить результаты для числителя и знаменателя в исходную дробь:

$\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{\sin (a+b)-\sin (a-b)}=\frac{2\sin (a)\cos (b)}{2\cos (a)\sin (b)}$

Сокращаем общий множитель $2$ в числителе и знаменателе: $=\frac{\sin (a)\cos (b)}{\cos (a)\sin (b)}$

Упростим дальше:

Используем соотношение: $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}=\tan (a),\frac{\cos (b)}{\sin (b)}=\cot (b)$ Получаем: $\frac{\sin (a)\cos (b)}{\cos (a)\sin (b)}=\tan (a)\cot (b)$

Окончательный ответ:

$\boxed{{\displaystyle \tan (a)\cot (b)}}$

Чтобы упростить выражение $\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{\sin (a+b)-\sin (a-b)}$, воспользуемся формулами для суммы и разности синусов.

Согласно формулам:

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

Теперь подставим эти формулы в наше выражение.

В числителе: $\sin (a+b)+\sin (a-b)=(\sin a\cos b+\cos a\sin b)+(\sin a\cos b-\cos a\sin b)=2\sin a\cos b$

В знаменателе: $\sin (a+b)-\sin (a-b)=(\sin a\cos b+\cos a\sin b)-(\sin a\cos b-\cos a\sin b)=2\cos a\sin b$

Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение:

$\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{\sin (a+b)-\sin (a-b)}=\frac{2\sin a\cos b}{2\cos a\sin b}$

Сократим 2 в числителе и знаменателе:

$=\frac{\sin a\cos b}{\cos a\sin b}$

Это можно переписать как:

$=\frac{\sin a}{\sin b}\cdot \frac{\cos b}{\cos a}$

Таким образом, окончательный результат упрощения выражения:

$\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{\sin (a+b)-\sin (a-b)}=\frac{\sin a}{\sin b}\cdot \frac{\cos b}{\cos a}$

Для упрощения выражения $\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{\sin (a+b)-\sin (a-b)}$ можно воспользоваться формулами сложения синусов:

$\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b$

$\sin (a+b)-\sin (a-b)=2\cos a\sin b$

Подставляя эти формулы в выражение, получаем:

$\frac{2\sin a\cos b}{2\cos a\sin b}=\frac{\sin a\cos b}{\cos a\sin b}$

Таким образом, упрощенное выражение будет:

$\frac{\sin a}{\sin b}\cdot \frac{\cos b}{\cos a}$

или, в более компактной форме:

$\frac{\tan a}{\tan b}$