Учащимся дали список из 10 книг, которые нужно прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик...

Чтобы решить задачу о том, сколько способов ученик может выбрать 6 книг из 10, мы можем использовать формулу для вычисления числа сочетаний. Сочетание — это способ выбора объектов из множества, когда важен только состав выбранных объектов, а не их порядок.

Обозначим количество книг, которые нужно выбрать, как $k$, а общее количество доступных книг — как $n$. В нашей задаче $n=10$ и $k=6$.

Число сочетаний $C(n,k$ ) вычисляется по формуле:

$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ $факториал(n$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Теперь подставим наши значения в формулу:

$C(10,6)=\frac{10!}{6!(10-6)!}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}$

Теперь нам нужно вычислить факториалы:

• $10!=10\times 9\times 8\times 7\times 6!$
• $6!=720$
• $4!=24$

Подставим эти значения в формулу:

$C(10,6)=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{6!\times 4!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4!}$

Теперь вычислим $4!$:

$4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$C(10,6)=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{24}$

Теперь вычислим числитель:

$10\times 9=90$ $90\times 8=720$ $720\times 7=5040$

Теперь разделим 5040 на 24:

$C(10,6)=\frac{5040}{24}=210$

Таким образом, ученик может выбрать 6 книг из 10 различными способами — всего 210 способов.

Ученик может выбрать 6 книг из 10 различными способами, используя формулу сочетаний. Количество способов можно вычислить по формуле:

$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество книг, $k$ — количество выбираемых книг.

В данном случае $n=10$ и $k=6$:

$C(10,6)=\frac{10!}{6!(10-6)!}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=210$

Таким образом, ученик может выбрать 6 книг 210 способами.

Задача сводится к комбинаторике, а именно к выбору нескольких элементов из заданного множества без учета порядка. Для этого используется понятие сочетаний.

Формула сочетаний

Сочетанием называется способ выбора $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, без учета порядка. Количество таких сочетаний обозначается $C(n,k$ ) и вычисляется по формуле:

$C(n,k)=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

где $n!$ — факториал числа $n$, равный произведению всех натуральных чисел от 1 до $n$: $n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 1$

Применение к задаче

У нас есть список из 10 книг $(n=10$), из которых нужно выбрать 6 книг $(k=6$).

Подставим значения $n=10$ и $k=6$ в формулу сочетаний:

$C(10,6)=\frac{10!}{6!\cdot (10-6)!}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}.$

Теперь вычислим факториалы:

• $10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!$ $останавливаемсяна(6!$, чтобы сократить позже),
• $6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$,
• $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$.

Подставим эти значения в формулу: $C(10,6)=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 4!}.$

Сократим $6!$ в числителе и знаменателе: $C(10,6)=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4!}.$

Теперь подставим $4!=24$: $C(10,6)=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{24}.$

Выполним вычисления:

1. $10\cdot 9=90$,
2. $90\cdot 8=720$,
3. $720\cdot 7=5040$,
4. $\frac{5040}{24}=210$.

Ответ

Ученик может выбрать 6 книг из 10 210 способами.

Пояснение

Это число отражает все возможные комбинации 6 книг из 10, где порядок книг не имеет значения. Если бы порядок был важен, задача бы сводилась к перестановкам, а не сочетаниям.