Учащийся из 30 экзаменационных вопросов программы подготовил 25. Билеты содержат по три вопроса. Какова...

Чтобы найти вероятность того, что все вопросы в выбранном билете известны учащемуся, нужно рассмотреть следующие шаги:

1. Общее количество вопросов и известные вопросы:

   • Всего вопросов: 30.
   • Учащийся подготовил: 25 вопросов.
   • Значит, 5 вопросов остаются неизвестными.

2. Количество вопросов в билете:

   • Каждый билет содержит 3 вопроса.

3. Количество возможных билетов:

   • Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 30 можно найти с помощью биномиального коэффициента: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=\frac{30!}{3!(30-3)!}=\frac{30\times 29\times 28}{3\times 2\times 1}=4060.$

4. Количество благоприятных исходов:

   • Учащемуся известны 25 вопросов. Нам нужно выбрать 3 вопроса из этих 25.
   • Количество способов выбрать 3 вопроса из 25 также определяется биномиальным коэффициентом: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{3})=\frac{25!}{3!(25-3)!}=\frac{25\times 24\times 23}{3\times 2\times 1}=2300.$

5. Вероятность того, что все вопросы в билете известны учащемуся:

   • Вероятность $P$ равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов: $P=\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}}=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{3})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})}=\frac{2300}{4060}.$
   • Упростим эту дробь: $P=\frac{2300}{4060}=\frac{2300÷20}{4060÷20}=\frac{115}{203}.$

6. Заключение:

   • Таким образом, вероятность того, что все вопросы в билете известны учащемуся, равна $\frac{115}{203}$.

Эта дробь уже в несократимом виде и представляет точную вероятность события.

Для того чтобы все вопросы, содержащиеся в билете, были известны учащемуся, ему нужно выбрать 3 вопроса из 25 подготовленных. Всего возможных комбинаций выбора 3 вопросов из 25 равно C$25,3$ = 2300.

Теперь найдем общее количество комбинаций выбора 3 вопросов из 30: C$30,3$ = 4060.

Итак, вероятность того, что все вопросы, содержащиеся в билете, известны учащемуся, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: P = C$25,3$ / C$30,3$ = 2300 / 4060 ≈ 0.5665 или около 56.65%.

Таким образом, вероятность того, что все вопросы на билете известны учащемуся, составляет примерно 56.65%.