Учащийся из 30 экзаменационных вопросов программы подготовил 25. Билеты содержат по три вопроса. Какова...

Чтобы найти вероятность того, что все вопросы в выбранном билете известны учащемуся, нужно рассмотреть следующие шаги:

1. Общее количество вопросов и известные вопросы:

   • Всего вопросов: 30.
   • Учащийся подготовил: 25 вопросов.
   • Значит, 5 вопросов остаются неизвестными.

2. Количество вопросов в билете:

   • Каждый билет содержит 3 вопроса.

3. Количество возможных билетов:

   • Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 30 можно найти с помощью биномиального коэффициента: [ \binom{30}{3} = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060. ]

4. Количество благоприятных исходов:

   • Учащемуся известны 25 вопросов. Нам нужно выбрать 3 вопроса из этих 25.
   • Количество способов выбрать 3 вопроса из 25 также определяется биномиальным коэффициентом: [ \binom{25}{3} = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 2300. ]

5. Вероятность того, что все вопросы в билете известны учащемуся:

   • Вероятность ( P ) равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов: [ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}} = \frac{\binom{25}{3}}{\binom{30}{3}} = \frac{2300}{4060}. ]
   • Упростим эту дробь: [ P = \frac{2300}{4060} = \frac{2300 \div 20}{4060 \div 20} = \frac{115}{203}. ]

6. Заключение:

   • Таким образом, вероятность того, что все вопросы в билете известны учащемуся, равна (\frac{115}{203}).

Эта дробь уже в несократимом виде и представляет точную вероятность события.

Для того чтобы все вопросы, содержащиеся в билете, были известны учащемуся, ему нужно выбрать 3 вопроса из 25 подготовленных. Всего возможных комбинаций выбора 3 вопросов из 25 равно C(25,3) = 2300.

Теперь найдем общее количество комбинаций выбора 3 вопросов из 30: C(30,3) = 4060.

Итак, вероятность того, что все вопросы, содержащиеся в билете, известны учащемуся, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: P = C(25,3) / C(30,3) = 2300 / 4060 ≈ 0.5665 или около 56.65%.

Таким образом, вероятность того, что все вопросы на билете известны учащемуся, составляет примерно 56.65%.