У=(1/х+1)(2х-3) найти производную ( подробно)

Для того чтобы найти производную функции у=(1/x + 1)(2x - 3), мы можем воспользоваться правилом производной произведения двух функций: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x), где f(x) и g(x) - две функции, а f'(x) и g'(x) - их производные.

Итак, давайте найдем производные функций, которые у нас есть:

f(x) = 1/x + 1 f'(x) = (-1/x^2)

g(x) = 2x - 3 g'(x) = 2

Теперь подставим эти производные в формулу производной произведения:

у' = (1/x^2)(2x - 3) + (1/x + 1)(2)

Упростим выражение:

у' = (2x - 3)/x^2 + 2(1/x + 1) у' = (2x - 3)/x^2 + 2/x + 2

Это и есть производная функции у=(1/x + 1)(2x - 3).

Чтобы найти производную функции ( y = \left(\frac{1}{x} + 1\right)(2x - 3) ), мы применим правило произведения и правило дифференцирования сложной функции.

Функция представлена в виде произведения двух функций: ( u(x) = \frac{1}{x} + 1 ) и ( v(x) = 2x - 3 ).

Производная произведения двух функций ( u(x) ) и ( v(x) ) дается формулой: [ (y)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

Теперь найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ).

1. Производная ( u(x) = \frac{1}{x} + 1 ):

[ u(x) = \frac{1}{x} + 1 ]

Производная от (\frac{1}{x}) равна (-\frac{1}{x^2}), а производная от постоянного числа (1) равна (0).

Таким образом, производная ( u'(x) ) будет:

[ u'(x) = -\frac{1}{x^2} ]

2. Производная ( v(x) = 2x - 3 ):

[ v(x) = 2x - 3 ]

Производная от (2x) равна (2), а производная от постоянного числа (-3) равна (0).

Таким образом, производная ( v'(x) ) будет:

[ v'(x) = 2 ]

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

[ (y)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

Подставим ( u'(x) = -\frac{1}{x^2} ), ( v(x) = 2x - 3 ), ( u(x) = \frac{1}{x} + 1 ), и ( v'(x) = 2 ):

[ (y)' = \left(-\frac{1}{x^2}\right)(2x - 3) + \left(\frac{1}{x} + 1\right)(2) ]

Раскроем скобки:

[ (y)' = -\frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x} + 2 ]

Упростим выражение:

[ (y)' = -\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x} + 2 ]

После сокращения:

[ (y)' = \frac{3}{x^2} + 2 ]

Итак, производная функции ( y = \left(\frac{1}{x} + 1\right)(2x - 3) ) равна:

[ (y)' = \frac{3}{x^2} + 2 ]