Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй – 35, третий...

Для решения задачи воспользуемся формулой Байеса. Сначала обозначим события:

• (A_1): изделие изготовлено первым рабочим.
• (A_2): изделие изготовлено вторым рабочим.
• (A_3): изделие изготовлено третьим рабочим.
• (B): изделие бракованное.

Нам нужно найти вероятность того, что бракованное изделие изготовил первый рабочий, то есть (P(A_1 | B)).

Сначала вычислим априорные вероятности (P(A_1)), (P(A_2)) и (P(A_3)):

• Первый рабочий изготовил 40 изделий из общего количества (40 + 35 + 25 = 100). Значит, (P(A_1) = \frac{40}{100} = 0.4).
• Второй рабочий изготовил 35 изделий из 100. Значит, (P(A_2) = \frac{35}{100} = 0.35).
• Третий рабочий изготовил 25 изделий из 100. Значит, (P(A_3) = \frac{25}{100} = 0.25).

Далее определим вероятность (P(B | A_1)), (P(B | A_2)) и (P(B | A_3)):

• Вероятность брака у первого рабочего (P(B | A_1) = 0.03).
• Вероятность брака у второго рабочего (P(B | A_2) = 0.02).
• Вероятность брака у третьего рабочего (P(B | A_3) = 0.01).

Теперь используем формулу полной вероятности для события (B):

[P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) + P(B | A_3) \cdot P(A_3)]

Подставляем значения:

[P(B) = 0.03 \cdot 0.4 + 0.02 \cdot 0.35 + 0.01 \cdot 0.25]

Вычисляем:

[P(B) = 0.012 + 0.007 + 0.0025 = 0.0215]

Теперь применим формулу Байеса, чтобы найти (P(A_1 | B)):

[P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}]

Подставляем значения:

[P(A_1 | B) = \frac{0.03 \cdot 0.4}{0.0215}]

Вычисляем:

[P(A_1 | B) = \frac{0.012}{0.0215} \approx 0.558]

Таким образом, вероятность того, что бракованное изделие изготовил первый рабочий, составляет примерно 0.558 или 55.8%.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Обозначим:

• A1, A2, A3 - события, что бракованное изделие изготовил первый, второй и третий рабочий соответственно;
• B - событие, что взятое наугад изделие оказалось бракованным.

Тогда вероятность брака для любого рабочего можно выразить как: P(A1) = 0,03, P(A2) = 0,02, P(A3) = 0,01.

Вероятность того, что бракованное изделие было изготовлено первым рабочим, можно найти по формуле полной вероятности: P(B) = P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) * P(A3), где P(B|A1) - вероятность того, что изделие браковано, если его изготовил первый рабочий.

Из условия задачи известно, что вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго 0,02 и у третьего 0,01. Таким образом, P(B|A1) = 0,03, P(B|A2) = 0,02, P(B|A3) = 0,01.

Подставляем данные значения в формулу: P(B) = 0,03 0,03 + 0,02 0,02 + 0,01 * 0,01 = 0,0009 + 0,0004 + 0,0001 = 0,0014.

Таким образом, вероятность того, что бракованное изделие было изготовлено первым рабочим, составляет 0,0014 или 0,14%.