Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй – 35, третий...

Для решения задачи воспользуемся формулой Байеса. Сначала обозначим события:

• $A_1$: изделие изготовлено первым рабочим.
• $A_2$: изделие изготовлено вторым рабочим.
• $A_3$: изделие изготовлено третьим рабочим.
• $B$: изделие бракованное.

Нам нужно найти вероятность того, что бракованное изделие изготовил первый рабочий, то есть $P(A_1|B$).

Сначала вычислим априорные вероятности $P(A_1$), $P(A_2$) и $P(A_3$):

• Первый рабочий изготовил 40 изделий из общего количества $40+35+25=100$. Значит, $P(A_1$ = \frac{40}{100} = 0.4).
• Второй рабочий изготовил 35 изделий из 100. Значит, $P(A_2$ = \frac{35}{100} = 0.35).
• Третий рабочий изготовил 25 изделий из 100. Значит, $P(A_3$ = \frac{25}{100} = 0.25).

Далее определим вероятность $P(B|A_1$), $P(B|A_2$) и $P(B|A_3$):

• Вероятность брака у первого рабочего $P(B|A_1$ = 0.03).
• Вероятность брака у второго рабочего $P(B|A_2$ = 0.02).
• Вероятность брака у третьего рабочего $P(B|A_3$ = 0.01).

Теперь используем формулу полной вероятности для события $B$:

$P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)$

Подставляем значения:

$P(B)=0.03\cdot 0.4+0.02\cdot 0.35+0.01\cdot 0.25$

Вычисляем:

$P(B)=0.012+0.007+0.0025=0.0215$

Теперь применим формулу Байеса, чтобы найти $P(A_1|B$):

$P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)\cdot P(A_1)}{P(B)}$

Подставляем значения:

$P(A_1|B)=\frac{0.03\cdot 0.4}{0.0215}$

Вычисляем:

$P(A_1|B)=\frac{0.012}{0.0215}\approx 0.558$

Таким образом, вероятность того, что бракованное изделие изготовил первый рабочий, составляет примерно 0.558 или 55.8%.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Обозначим:

• A1, A2, A3 - события, что бракованное изделие изготовил первый, второй и третий рабочий соответственно;
• B - событие, что взятое наугад изделие оказалось бракованным.

Тогда вероятность брака для любого рабочего можно выразить как: P$A1$ = 0,03, P$A2$ = 0,02, P$A3$ = 0,01.

Вероятность того, что бракованное изделие было изготовлено первым рабочим, можно найти по формуле полной вероятности: P$B$ = P$B|A1$ P$A1$ + P$B|A2$ P$A2$ + P$B|A3$ * P$A3$, где P$B|A1$ - вероятность того, что изделие браковано, если его изготовил первый рабочий.

Из условия задачи известно, что вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго 0,02 и у третьего 0,01. Таким образом, P$B|A1$ = 0,03, P$B|A2$ = 0,02, P$B|A3$ = 0,01.

Подставляем данные значения в формулу: P$B$ = 0,03 0,03 + 0,02 0,02 + 0,01 * 0,01 = 0,0009 + 0,0004 + 0,0001 = 0,0014.

Таким образом, вероятность того, что бракованное изделие было изготовлено первым рабочим, составляет 0,0014 или 0,14%.