Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они уже в темноте и разобрали шляпы наугад. Найдите вероятности следующих событий: А = {каждый надел свою шляпу}, В = {все надели чужие шляпы}, С = {двое надели чужие шляпы, а один – свою}, D = {двое надели свои шляпы, а один – чужую}.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала определить общее количество возможных способов распределения шляп и затем вычислить вероятность каждого из заданных событий.
Для трех господ существует (3!) (3 факториал) способов распределить шляпы. Это равно: [ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ]
Событие А означает, что каждый из трех господ надел свою шляпу. В этом случае существует только один способ, как это может произойти: [ (1, 2, 3) ] Здесь каждый номер соответствует тому, кто получил свою собственную шляпу.
Вероятность события А: [ P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{1}{6} ]
Событие B означает, что никто не надел свою шляпу. Это называется перестановкой без фиксированных точек или дерранжментом. Для трех элементов существует 2 таких дерранжмента: [ (2, 3, 1) ] [ (3, 1, 2) ]
Вероятность события B: [ P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ]
Событие C означает, что один господин надел свою шляпу, а двое других обменялись шляпами. Это невозможно для трех человек, так как если один человек надел свою шляпу, другой также должен надеть свою, оставляя только одну шляпу, которая должна быть надета правильно.
Таким образом, количество благоприятных исходов для события C равно нулю: [ P(C) = \frac{0}{6} = 0 ]
Событие D означает, что двое господ надели свои шляпы, а один — чужую. Это тоже невозможно, так как если двое надели свои шляпы, то оставшаяся шляпа автоматически тоже должна быть надета правильно.
Таким образом, количество благоприятных исходов для события D равно нулю: [ P(D) = \frac{0}{6} = 0 ]
Эти вероятности показывают, как часто каждая из ситуаций может происходить при случайном распределении шляп среди трех господ.
Для нахождения вероятностей этих событий нам необходимо определить количество благоприятных исходов и общее количество исходов.
1) Событие A = {каждый надел свою шляпу}: Благоприятные исходы: 1 (только один способ, как они могут надеть свои шляпы) Общее количество исходов: 3! = 6 (всего возможных способов разобрать шляпы) Вероятность события A: P(A) = 1/6
2) Событие B = {все надели чужие шляпы}: Благоприятные исходы: 1 (только один способ, как они могут надеть чужие шляпы) Общее количество исходов: 3! = 6 Вероятность события B: P(B) = 1/6
3) Событие C = {двое надели чужие шляпы, а один – свою}: Благоприятные исходы: 2 (два способа, как двое могут надеть чужие шляпы, и один свою) Общее количество исходов: 3! = 6 Вероятность события C: P(C) = 2/6 = 1/3
4) Событие D = {двое надели свои шляпы, а один – чужую}: Благоприятные исходы: 0 (невозможно, чтобы двое надели свои шляпы и один чужую) Общее количество исходов: 3! = 6 Вероятность события D: P(D) = 0/6 = 0
Итак, вероятности указанных событий: P(A) = 1/6 P(B) = 1/6 P(C) = 1/3 P(D) = 0
А = 1/6, B = 1/6, C = 1/2, D = 1/3.
