Треугольник со сторонами в 10 см 17 см и 21 см вращается вокруг большей стороны. Определить объем и...

Конечно, давайте решим эту задачу. В данном случае у нас есть треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см. При вращении вокруг большей стороны (21 см) этот треугольник образует тело вращения, называемое конусом.

Определение объема

Объем конуса ( V ) вычисляется по формуле:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

где ( r ) — радиус основания, а ( h ) — высота конуса.

В данном случае высота ( h ) будет равна 10 см, так как это перпендикулярно к оси вращения (21 см). Радиус ( r ) будет равен 17 см, так как это расстояние от вершины треугольника до основания, перпендикулярного высоте.

Подставим значения в формулу:

[ V = \frac{1}{3} \pi (17)^2 (10) ]

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 289 \times 10 ]

[ V = \frac{2890}{3} \pi \approx 3026.67 \, \text{см}^3 ]

Определение площади поверхности

Поверхность конуса состоит из площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания ( A_{\text{осн}} ) вычисляется как:

[ A_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \times 17^2 = 289\pi ]

Площадь боковой поверхности ( A_{\text{бок}} ) вычисляется как:

[ A_{\text{бок}} = \pi r l ]

где ( l ) — образующая конуса. Образующая ( l ) может быть найдена по теореме Пифагора в треугольнике, образованном высотой ( h ), радиусом ( r ) и образующей ( l ):

[ l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{10^2 + 17^2} = \sqrt{100 + 289} = \sqrt{389} ]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

[ A_{\text{бок}} = \pi \times 17 \times \sqrt{389} ]

Итак, полная площадь поверхности конуса будет:

[ A{\text{полн}} = A{\text{осн}} + A_{\text{бок}} = 289\pi + 17\pi\sqrt{389} ]

Таким образом, объем тела вращения составляет приблизительно ( 3026.67 \, \text{см}^3 ), и его поверхность определяется формулой ( 289\pi + 17\pi\sqrt{389} ).

Для определения объема и поверхности полученного тела, которое образуется в результате вращения треугольника со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вокруг большей стороны (21 см), можно воспользоваться формулами для нахождения объема и поверхности тела вращения.

Объем тела вращения определяется по формуле: V = π * интеграл от a до b (f(x))^2 dx, где a и b - пределы интегрирования (в данном случае от 0 до 21 см), f(x) - функция, задающая форму треугольника (в данном случае, это функция, соответствующая уравнению треугольника).

Поверхность тела вращения определяется по формуле: S = 2 π интеграл от a до b f(x) * sqrt(1 + (f'(x))^2) dx, где a и b - также пределы интегрирования, f(x) - функция, задающая форму треугольника, f'(x) - производная функции f(x).

После того, как вы найдете соответствующие значения объема и поверхности с помощью интегрирования, умножьте их на 2, так как тело образуется в результате вращения треугольника вокруг большей стороны.

Таким образом, для конкретного треугольника со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вращение вокруг 21 см даст определенное значение объема и поверхности полученного тела.