Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 17 минут, а на каждом следующем...

Пусть количество занятий, которые проведет Андрей, равно n. Тогда время, проведенное на беговой дорожке в каждом из этих n занятий, можно представить в виде арифметической прогрессии: 17, 18, 19, ., 17 + (n-1).

Сумма членов арифметической прогрессии равна среднему значению первого и последнего члена, умноженному на количество членов. Итак, сумма времени, проведенного на беговой дорожке в течение n занятий, равна (17 + 17 + (n-1)) n / 2 = (34 + n-1) n / 2 = (n^2 + 33n) / 2 минут.

Мы хотим найти значение n, при котором сумма времени равна 3 часам 35 минутам, что равно 215 минутам. Итак, уравнение будет выглядеть так: (n^2 + 33n) / 2 = 215 n^2 + 33n = 430 n^2 + 33n - 430 = 0

Решив это квадратное уравнение, получаем два корня: n = 10 и n = -43. Так как количество занятий не может быть отрицательным, то ответом будет n = 10. Таким образом, Андрей проведет на беговой дорожке в сумме 3 часа 35 минут за 10 занятий.

Чтобы решить задачу, нужно сначала перевести общее время, которое Андрей должен провести на беговой дорожке, в минуты.

3 часа 35 минут = 3 * 60 + 35 = 180 + 35 = 215 минут.

Андрей начинает с 17 минут и каждый день увеличивает время на 1 минуту. Мы можем выразить время, которое Андрей проводит на беговой дорожке в ( n )-ый день, как:

[ t_n = 17 + (n - 1) ]

где ( t_1 = 17 ) минут, ( t_2 = 18 ) минут и так далее.

Сумма времени, проведённого на беговой дорожке за ( n ) дней, будет арифметической прогрессией. Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии ( S_n ) вычисляется по формуле:

[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) ]

где ( a_1 ) — это первый член прогрессии, а ( a_n ) — это ( n )-ый член прогрессии.

В данном случае ( a_1 = 17 ), а ( a_n = 17 + (n - 1) = 16 + n ).

Нам нужно найти такое ( n ), чтобы:

[ S_n = 215 ]

Подставляем значения в формулу суммы:

[ 215 = \frac{n}{2} (17 + (16 + n)) ]

Упрощаем уравнение:

[ 215 = \frac{n}{2} (33 + n) ]

Умножаем обе стороны на 2:

[ 430 = n (33 + n) ]

Приводим уравнение к квадратной форме:

[ n^2 + 33n - 430 = 0 ]

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac ]

где ( a = 1 ), ( b = 33 ), ( c = -430 ):

[ D = 33^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-430) = 1089 + 1720 = 2809 ]

Корень из дискриминанта:

[ \sqrt{2809} = 53 ]

Находим корни уравнения:

[ n_1, n_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ n_1, n_2 = \frac{-33 \pm 53}{2} ]

[ n_1 = \frac{20}{2} = 10 ]

[ n_2 = \frac{-86}{2} = -43 ] (отрицательное значение не имеет смысла в нашем контексте)

Таким образом, ( n = 10 ).

Ответ: Андрей проведёт на беговой дорожке в сумме 3 часа 35 минут за 10 занятий.