Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 17 минут, а на каждом следующем...

Пусть количество занятий, которые проведет Андрей, равно n. Тогда время, проведенное на беговой дорожке в каждом из этих n занятий, можно представить в виде арифметической прогрессии: 17, 18, 19, ., 17 + $n-1$.

Сумма членов арифметической прогрессии равна среднему значению первого и последнего члена, умноженному на количество членов. Итак, сумма времени, проведенного на беговой дорожке в течение n занятий, равна $17+17+(n-1$) n / 2 = $34+n-1$ n / 2 = $n^2+33n$ / 2 минут.

Мы хотим найти значение n, при котором сумма времени равна 3 часам 35 минутам, что равно 215 минутам. Итак, уравнение будет выглядеть так: $n^2+33n$ / 2 = 215 n^2 + 33n = 430 n^2 + 33n - 430 = 0

Решив это квадратное уравнение, получаем два корня: n = 10 и n = -43. Так как количество занятий не может быть отрицательным, то ответом будет n = 10. Таким образом, Андрей проведет на беговой дорожке в сумме 3 часа 35 минут за 10 занятий.

Чтобы решить задачу, нужно сначала перевести общее время, которое Андрей должен провести на беговой дорожке, в минуты.

3 часа 35 минут = 3 * 60 + 35 = 180 + 35 = 215 минут.

Андрей начинает с 17 минут и каждый день увеличивает время на 1 минуту. Мы можем выразить время, которое Андрей проводит на беговой дорожке в $n$-ый день, как:

$t_n=17+(n-1)$

где $t_1=17$ минут, $t_2=18$ минут и так далее.

Сумма времени, проведённого на беговой дорожке за $n$ дней, будет арифметической прогрессией. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$

где $a_1$ — это первый член прогрессии, а $a_n$ — это $n$-ый член прогрессии.

В данном случае $a_1=17$, а $a_n=17+(n-1$ = 16 + n ).

Нам нужно найти такое $n$, чтобы:

$S_n=215$

Подставляем значения в формулу суммы:

$215=\frac{n}{2}(17+(16+n))$

Упрощаем уравнение:

$215=\frac{n}{2}(33+n)$

Умножаем обе стороны на 2:

$430=n(33+n)$

Приводим уравнение к квадратной форме:

$n^2+33n-430=0$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D=b^2-4ac$

где $a=1$, $b=33$, $c=-430$:

$D={33}^2-4\cdot 1\cdot (-430)=1089+1720=2809$

Корень из дискриминанта:

$\sqrt{2809}=53$

Находим корни уравнения:

$n_1,n_2=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$n_1,n_2=\frac{-33\pm 53}{2}$

$n_1=\frac{20}{2}=10$

$n_2=\frac{-86}{2}=-43$ $отрицательноезначениенеимеетсмыславнашемконтексте$

Таким образом, $n=10$.

Ответ: Андрей проведёт на беговой дорожке в сумме 3 часа 35 минут за 10 занятий.