Трехзначное число образовано наугад выбранными тремя неповторяющимися цифрами из цифр 1,2,3,4,5. Найти...

Для того чтобы трехзначное число было четным, последняя цифра должна быть четной, то есть либо 2, либо 4.

1. Если последняя цифра равна 2: остается выбрать две цифры из оставшихся четырех (1,3,4,5) для первых двух разрядов. Количество способов выбрать две цифры из четырех равно C(4,2) = 6. Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно 6.

2. Если последняя цифра равна 4: аналогично, остается выбрать две цифры из оставшихся четырех (1,2,3,5) для первых двух разрядов. Количество способов выбрать две цифры из четырех равно C(4,2) = 6. Таким образом, общее количество благоприятных исходов также равно 6.

Итак, общее количество благоприятных исходов равно 6 + 6 = 12. Общее количество возможных трехзначных чисел, образованных из цифр 1,2,3,4,5, равно C(5,3) = 10.

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число будет четным, равна 12/10 = 6/5 = 1.2.

Для решения задачи найдем вероятность того, что случайно образованное трехзначное число из неповторяющихся цифр 1, 2, 3, 4, 5 будет четным.

1. Общее количество возможных трехзначных чисел: Чтобы составить трехзначное число из пяти данных цифр (1, 2, 3, 4, 5) без повторений, необходимо выбрать три цифры из пяти, а затем их упорядочить.

   Выбор трех цифр из пяти: (\binom{5}{3} = 10).

   Каждое из выбранных трех цифр можно упорядочить разными способами (перестановками): (3! = 6).

   Таким образом, общее количество возможных трехзначных чисел составляет: [ 10 \times 6 = 60. ]

2. Количество четных трехзначных чисел: Чтобы число было четным, его последняя цифра должна быть четной. Из данных цифр четными являются 2 и 4. Рассмотрим оба случая:

   • Последняя цифра — 2:

     • Из оставшихся четырех цифр (1, 3, 4, 5) нужно выбрать две для первых двух позиций.
     • Количество способов выбрать две цифры из четырех: (\binom{4}{2} = 6).
     • Каждая пара цифр может быть упорядочена (2!) способами: (2 = 2).
     • Таким образом, для последней цифры 2 количество четных чисел: [ 6 \times 2 = 12. ]

   • Последняя цифра — 4:

     • Из оставшихся четырех цифр (1, 2, 3, 5) нужно выбрать две для первых двух позиций.
     • Количество способов выбрать две цифры из четырех: (\binom{4}{2} = 6).
     • Каждая пара цифр может быть упорядочена (2!) способами: (2 = 2).
     • Таким образом, для последней цифры 4 количество четных чисел: [ 6 \times 2 = 12. ]

   Общее количество четных чисел (с последней цифрой 2 или 4): [ 12 + 12 = 24. ]

3. Вычисление вероятности: Вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число будет четным, равна отношению количества четных чисел к общему количеству всех возможных чисел: [ \frac{24}{60} = \frac{2}{5}. ]

Таким образом, вероятность того, что случайно образованное трехзначное число из цифр 1, 2, 3, 4, 5 будет четным, равна (\frac{2}{5}).