Теория вероятностей и статистика Напишите именно решение: В партии из 15 деталей 3 бракованных. Покупатель приобрел 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди них:
Давайте решим задачу, используя комбинаторные методы. Для начала определим общее количество способов выбрать 5 деталей из 15. Это будет сочетание из 15 по 5, обозначаемое как ( C(15, 5) ).
Количество сочетаний из ( n ) по ( k ) рассчитывается по формуле: [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
Теперь перейдем к решению каждого пункта задачи:
Найдем вероятность противоположного события – что все 5 выбранных деталей окажутся исправными. В партии 12 исправных деталей.
Количество способов выбрать 5 исправных деталей из 12: [ C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792 ]
Вероятность того, что все 5 деталей исправны: [ P(\text{все исправны}) = \frac{C(12, 5)}{C(15, 5)} = \frac{792}{3003} \approx 0.2637 ]
Вероятность наличия хотя бы одной бракованной детали: [ P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - P(\text{все исправны}) = 1 - 0.2637 = 0.7363 ]
Количество способов выбрать 3 бракованные детали из 3: [ C(3, 3) = 1 ]
Количество способов выбрать 2 исправные детали из 12: [ C(12, 2) = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66 ]
Вероятность выбрать 3 бракованные и 2 исправные детали: [ P(3 \text{ бракованные, 2 исправные}) = \frac{C(3, 3) \times C(12, 2)}{C(15, 5)} = \frac{1 \times 66}{3003} \approx 0.02197 ]
Количество способов выбрать 2 бракованные детали из 3: [ C(3, 2) = 3 ]
Количество способов выбрать 3 исправные детали из 12: [ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 ]
Вероятность выбрать 2 бракованные и 3 исправные детали: [ P(2 \text{ бракованные, 3 исправные}) = \frac{C(3, 2) \times C(12, 3)}{C(15, 5)} = \frac{3 \times 220}{3003} \approx 0.2194 ]
Это решение позволяет найти вероятность для каждого из трех событий.
