Сторона правильного треугольника АВС равна 4. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АC .

Скалярное произведение векторов AB и AC равно 16.

Чтобы найти скалярное произведение векторов AB и AC, нам нужно сначала найти сами векторы. Вектор AB это вектор, который направлен от точки A к точке B, а вектор AC - от точки A к точке C.

Поскольку треугольник ABC является правильным, то вектор AB будет направлен по горизонтали, а вектор AC - под углом 60 градусов к горизонтали. Длина стороны треугольника AB равна 4, значит вектор AB будет иметь координаты (4,0).

Чтобы найти координаты вектора AC, нам нужно воспользоваться тригонометрическими функциями. Поскольку угол между векторами AB и AC равен 60 градусов, то координаты вектора AC можно найти следующим образом: ACx = 4cos(60) = 2, ACy = 4sin(60) = 2*sqrt(3).

Теперь у нас есть координаты векторов AB и AC: AB(4,0) и AC(2,2*sqrt(3)).

Скалярное произведение векторов AB и AC вычисляется по формуле: AB AC = ABx ACx + ABy ACy = 42 + 0(2sqrt(3)) = 8.

Таким образом, скалярное произведение векторов AB и AC равно 8.

В правильном треугольнике все стороны равны, а углы между ними составляют 60 градусов. Поэтому векторы, соответствующие двум сторонам треугольника, образуют угол в 60 градусов.

Скалярное произведение двух векторов (\vec{u}) и (\vec{v}) вычисляется по формуле: [ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta) ] где (|\vec{u}|) и (|\vec{v}|) — длины векторов, а (\theta) — угол между ними.

В данном случае, длины векторов (\vec{AB}) и (\vec{AC}) равны 4 (так как АВ = АС = 4), а угол (\theta) между ними составляет 60 градусов. Косинус 60 градусов равен 0.5.

Тогда скалярное произведение (\vec{AB}) и (\vec{AC}) равно: [ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 4 \cdot 0.5 = 16 \cdot 0.5 = 8 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов (\vec{AB}) и (\vec{AC}) равно 8.