Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна корень из 2,а ее диагональ составляет с плоскостью...

Объем правильной четырехугольной призмы равен V = a^2 * h, где a - сторона основания, h - высота призмы. Для нахождения объема призмы необходимо знать высоту h.

Для нахождения объема правильной четырехугольной призмы нам необходимо знать длину стороны основания и высоту призмы.

Поскольку сторона основания равна корень из 2, то длина диагонали основания равна корню из 2 умножить на корень из 2 умножить на 2, что равно 2.

Таким образом, сторона правильной четырехугольной призмы равна 2.

Поскольку угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 30 градусов, то у нас образуется прямоугольный треугольник, в котором известны катет $сторонаоснования,равная2$ и угол между катетом и гипотенузой $30градусов$.

Таким образом, мы можем найти длину высоты призмы, используя тригонометрические функции. Высота призмы будет равна 2 * sin$30градусов$ = 1.

Теперь, чтобы найти объем правильной четырехугольной призмы, мы можем воспользоваться формулой V = S * h, где S - площадь основания, а h - высота призмы.

Площадь основания равна сторона в квадрате, то есть 2 в квадрате, равное 4.

Таким образом, объем призмы равен 4 * 1 = 4 кубических единиц.

Для решения задачи по нахождению объема правильной четырехугольной призмы с заданными характеристиками, давайте разберемся с геометрией этой фигуры и используем известные тригонометрические и геометрические соотношения.

1. Определение параметров призмы:

   • Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна $\sqrt{2}$.
   • Диагональ призмы составляет угол 30 градусов с плоскостью боковой грани.

2. Обозначения и интерпретация:

   • Пусть $a=\sqrt{2}$ — сторона основания правильной четырехугольной призмы.
   • $h$ — высота призмы.
   • $d$ — диагональ призмы.

3. Диагональ призмы: Диагональ призмы проходит через противоположные вершины вершины верхнего и нижнего основания. Она образует прямоугольный треугольник с высотой призмы и диагональю основания.

4. Диагональ основания:

   • Диагональ основания правильной четырехугольной призмы можно найти по формуле для диагонали квадрата: $d_{осн}=a\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$

5. Диагональ призмы:

   • Диагональ призмы $d$ будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами (d{осн}) и $h$: [ d = \sqrt{d{осн}^2 + h^2} = \sqrt{4 + h^2} ]

6. Угол между диагональю и плоскостью боковой грани:

   • Рассмотрим треугольник, в котором диагональ призмы $d$ составляет угол $\alpha ={30}^{\circ }$ с высотой $h$. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой, $h$ — противолежащим катетом, а $d_{осн}$ — прилежащим катетом.
   • По определению косинуса угла: $\cos {30}^{\circ }=\frac{d_{осн}}{d}=\frac{2}{\sqrt{4+h^2}}$
   • $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому: $\frac{2}{\sqrt{4+h^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • Решим это уравнение для нахождения $h$: $4=\sqrt{3}\sqrt{4+h^2}$ $16=3(4+h^2)$ $16=12+3h^2$ $4=3h^2$ $h^2=\frac{4}{3}$ $h=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

7. Объем призмы:

   • Объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле: $V=S_{осн}\cdot h$
   • Площадь основания (S{осн}) — это площадь квадрата со стороной $\sqrt{2}$: [ S{осн} = $\sqrt{2}$^2 = 2 ]
   • Подставим найденное значение высоты $h$: $V=2\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы составляет: $\boxed{{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}}$