Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равно 8см, а боковое ребро наклонено к плоскости...

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам сначала нужно определить высоту пирамиды.

Для этого воспользуемся данными задачи:

1. Длина стороны основания $a=8$ см.
2. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов.

Поскольку основание пирамиды – правильный четырехугольник $квадрат$, центр этого квадрата является точкой, равноудаленной от всех вершин. Пусть $O$ – центр квадрата, тогда длина отрезка от центра к любой вершине $радиусописаннойокружности$ равна половине диагонали квадрата. Диагональ $d$ квадрата со стороной $a$ равна $d=a\sqrt{2}$. Таким образом, радиус описанной окружности $R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный одним из боковых ребер, высотой пирамиды $пустьэтобудет(h$) и радиусом описанной окружности основания, который является гипотенузой в этом треугольнике, так как угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет 45 градусов.

Из тригонометрических соотношений в треугольнике: $\sin {45}^{\circ }=\frac{h}{L}$ где $L$ – длина бокового ребра, $L=R=4\sqrt{2}$ см.

$\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, тогда: $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{4\sqrt{2}}$ $h=4$

Зная высоту пирамиды и площадь основания, мы можем найти объем пирамиды по формуле: [ V = \frac{1}{3} S{осн} h ] где (S{осн}) – площадь основания. Поскольку основание – квадрат со стороной 8 см: $S_{осн}=8\times 8=64{\text{см}}^2$ $V=\frac{1}{3}\times 64\times 4=\frac{256}{3}\approx 85.33{\text{см}}^3$

Таким образом, объем данной пирамиды составляет примерно 85.33 кубических сантиметра.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды необходимо знать площадь основания и высоту пирамиды.

Площадь основания можно найти, зная сторону основания: S = a^2, где а = 8 см S = 8^2 = 64 см^2

Высоту пирамиды можно найти, зная боковое ребро и угол наклона к плоскости основания: h = a sin$угол$, где угол = 45 градусов h = 8 sin$45°$ = 8 * √2 / 2 = 4√2 см

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле: V = $1/3$ S h V = $1/3$ 64 4√2 V = $1/3$ * 256√2 V = 85.33 см^3

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 85.33 см^3.