Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равно 8см, а боковое ребро наклонено к плоскости...

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам сначала нужно определить высоту пирамиды.

Для этого воспользуемся данными задачи:

1. Длина стороны основания (a = 8) см.
2. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов.

Поскольку основание пирамиды – правильный четырехугольник (квадрат), центр этого квадрата является точкой, равноудаленной от всех вершин. Пусть (O) – центр квадрата, тогда длина отрезка от центра к любой вершине (радиус описанной окружности) равна половине диагонали квадрата. Диагональ (d) квадрата со стороной (a) равна (d = a\sqrt{2}). Таким образом, радиус описанной окружности (R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}) см.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный одним из боковых ребер, высотой пирамиды (пусть это будет (h)) и радиусом описанной окружности основания, который является гипотенузой в этом треугольнике, так как угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет 45 градусов.

Из тригонометрических соотношений в треугольнике: [ \sin 45^\circ = \frac{h}{L} ] где (L) – длина бокового ребра, (L = R = 4\sqrt{2}) см.

(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), тогда: [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{4\sqrt{2}} ] [ h = 4 ]

Зная высоту пирамиды и площадь основания, мы можем найти объем пирамиды по формуле: [ V = \frac{1}{3} S{осн} h ] где (S{осн}) – площадь основания. Поскольку основание – квадрат со стороной 8 см: [ S_{осн} = 8 \times 8 = 64 \, \text{см}^2 ] [ V = \frac{1}{3} \times 64 \times 4 = \frac{256}{3} \approx 85.33 \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объем данной пирамиды составляет примерно 85.33 кубических сантиметра.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды необходимо знать площадь основания и высоту пирамиды.

Площадь основания можно найти, зная сторону основания: S = a^2, где а = 8 см S = 8^2 = 64 см^2

Высоту пирамиды можно найти, зная боковое ребро и угол наклона к плоскости основания: h = a sin(угол), где угол = 45 градусов h = 8 sin(45°) = 8 * √2 / 2 = 4√2 см

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле: V = (1/3) S h V = (1/3) 64 4√2 V = (1/3) * 256√2 V = 85.33 см^3

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 85.33 см^3.