Сравните между собой приведенные последовательности и найдите среди них такие, которые образованы при помощи одного и того же общего для них свойства. Что это за свойство? 2, 4, 6, 8, 10, .; 2, 4, 8, 16, 32, ., 1, 2, 3, 4, 5, .; 2, 5, 8, 11, 14, . .
Сравните между собой приведенные последовательности и найдите среди них такие, которые образованы при помощи одного и того же общего для них свойства. Что это за свойство? 2, 4, 6, 8, 10, .; 2, 4, 8, 16, 32, ., 1, 2, 3, 4, 5, .; 2, 5, 8, 11, 14, . .
Первая и третья последовательности образованы при помощи свойства увеличения на 2. Вторая последовательность образована при помощи свойства умножения на 2. Четвертая последовательность образована при помощи свойства увеличения на 3.
Первая и вторая последовательности образованы при помощи умножения на 2.
Для того чтобы сравнить приведенные последовательности и найти среди них общие свойства, сначала определим правило, по которому образуется каждая из последовательностей.
Последовательность 2, 4, 6, 8, 10, .: Эта последовательность является арифметической прогрессией, где каждый следующий элемент увеличивается на одно и то же число. В данном случае разница между элементами равна 2.
Общий вид арифметической прогрессии: ( a_n = a_1 + (n-1)d ), где ( a_1 = 2 ) (первый член), ( d = 2 ) (разность). Формула ( a_n = 2 + 2(n-1) = 2n ).
Последовательность 2, 4, 8, 16, 32, .: Эта последовательность является геометрической прогрессией, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на одно и то же число. В данном случае множитель равен 2.
Общий вид геометрической прогрессии: ( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} ), где ( a_1 = 2 ) (первый член), ( r = 2 ) (множитель). Формула ( a_n = 2 \cdot 2^{(n-1)} = 2^n ).
Последовательность 1, 2, 3, 4, 5, .: Это также арифметическая прогрессия, где каждый следующий элемент увеличивается на 1.
Общий вид арифметической прогрессии: ( a_n = a_1 + (n-1)d ), где ( a_1 = 1 ) (первый член), ( d = 1 ) (разность). Формула ( a_n = 1 + (n-1) = n ).
Последовательность 2, 5, 8, 11, 14, .: Эта последовательность также является арифметической прогрессией, где каждый следующий элемент увеличивается на 3.
Общий вид арифметической прогрессии: ( a_n = a_1 + (n-1)d ), где ( a_1 = 2 ) (первый член), ( d = 3 ) (разность). Формула ( a_n = 2 + 3(n-1) = 3n - 1 ).
Теперь, зная правила образования каждой последовательности, можем рассмотреть их общие свойства.
Арифметические прогрессии: Мы видим, что последовательности 2, 4, 6, 8, 10, .; 1, 2, 3, 4, 5, . и 2, 5, 8, 11, 14, . являются арифметическими прогрессиями. Общее для них свойство — наличие постоянной разности между последовательными членами. Для первой и третьей последовательностей разность равна 2 и 1 соответственно, а для четвертой — 3.
Геометрическая прогрессия: Последовательность 2, 4, 8, 16, 32, . является геометрической прогрессией. Общее для этой последовательности свойство — наличие постоянного множителя, который равен 2.
Таким образом, три из приведенных последовательностей (2, 4, 6, 8, 10, .; 1, 2, 3, 4, 5, .; и 2, 5, 8, 11, 14, .) являются арифметическими прогрессиями, и они образованы при помощи одного и того же общего свойства — постоянной разности. Четвертая последовательность (2, 4, 8, 16, 32, .) является геометрической прогрессией, образованной при помощи постоянного множителя.
