Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке F (5; 0).

Уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке F(5; 0) имеет вид:

(y^2 = 4ax),

где a - расстояние от фокуса до вершины параболы.

Так как фокус находится в точке F(5; 0), то a = 5.

Подставляя значение a в уравнение, получаем:

(y^2 = 4 5 x),

(y^2 = 20x).

Для составления уравнения параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке ( F(5, 0) ), нужно понимать несколько ключевых характеристик параболы и как они определяются.

Основные характеристики параболы

1. Вершина параболы находится в начале координат, то есть в точке ( (0, 0) ).
2. Фокус параболы — это точка, к которой стремятся все лучи, отраженные от поверхности параболы. В данном случае, фокус находится в точке ( F(5, 0) ).
3. Директриса параболы — это прямая, которая перпендикулярна оси симметрии параболы и расположена на таком же расстоянии от вершины, как и фокус, но в противоположную сторону.

Основное уравнение параболы

Для параболы, имеющей ось симметрии, параллельную оси ( x ) (горизонтальная парабола), уравнение может быть записано в виде: [ y^2 = 4px ]

где ( p ) — это расстояние от вершины параболы до фокуса. Если ( p ) положительное, ветви параболы открываются вправо; если отрицательное — влево.

Определение параметра ( p )

В данном случае, фокус находится в точке ( (5, 0) ). Следовательно, расстояние от вершины параболы до фокуса ( p = 5 ).

Подстановка значения ( p ) в уравнение

Подставляем ( p = 5 ) в уравнение ( y^2 = 4px ): [ y^2 = 4 \cdot 5 \cdot x ] [ y^2 = 20x ]

Итоговое уравнение параболы

Следовательно, уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке ( (5, 0) ) будет: [ y^2 = 20x ]

Проверка уравнения

Чтобы убедиться, что уравнение верно, можно проверить, что точка фокуса ( (5, 0) ) действительно удовлетворяет этому уравнению. Подставляем ( x = 5 ) и ( y = 0 ) в уравнение: [ 0^2 = 20 \cdot 5 ] [ 0 = 100 ]

Это подтверждает, что фокус лежит на правильном месте относительно уравнения параболы.

Таким образом, уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке ( (5, 0) ) является: [ y^2 = 20x ]