Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке F $5;0$.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке F$5;0$ имеет вид:

$y^2=4ax$,

где a - расстояние от фокуса до вершины параболы.

Так как фокус находится в точке F$5;0$, то a = 5.

Подставляя значение a в уравнение, получаем:

(y^2 = 4 5 x),

$y^2=20x$.

Для составления уравнения параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке $F(5,0$ ), нужно понимать несколько ключевых характеристик параболы и как они определяются.

Основные характеристики параболы

1. Вершина параболы находится в начале координат, то есть в точке $(0,0$ ).
2. Фокус параболы — это точка, к которой стремятся все лучи, отраженные от поверхности параболы. В данном случае, фокус находится в точке $F(5,0$ ).
3. Директриса параболы — это прямая, которая перпендикулярна оси симметрии параболы и расположена на таком же расстоянии от вершины, как и фокус, но в противоположную сторону.

Основное уравнение параболы

Для параболы, имеющей ось симметрии, параллельную оси $x$ $горизонтальнаяпарабола$, уравнение может быть записано в виде: $y^2=4px$

где $p$ — это расстояние от вершины параболы до фокуса. Если $p$ положительное, ветви параболы открываются вправо; если отрицательное — влево.

Определение параметра $p$

В данном случае, фокус находится в точке $(5,0$ ). Следовательно, расстояние от вершины параболы до фокуса $p=5$.

Подстановка значения $p$ в уравнение

Подставляем $p=5$ в уравнение $y^2=4px$: $y^2=4\cdot 5\cdot x$ $y^2=20x$

Итоговое уравнение параболы

Следовательно, уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке $(5,0$ ) будет: $y^2=20x$

Проверка уравнения

Чтобы убедиться, что уравнение верно, можно проверить, что точка фокуса $(5,0$ ) действительно удовлетворяет этому уравнению. Подставляем $x=5$ и $y=0$ в уравнение: $0^2=20\cdot 5$ $0=100$

Это подтверждает, что фокус лежит на правильном месте относительно уравнения параболы.

Таким образом, уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке $(5,0$ ) является: $y^2=20x$