Сократите дробь пж x³+3x²-4x-12 ₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋ (x-2)*(x+3)

Чтобы сократить дробь (\frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{(x-2)(x+3)}), нужно сначала попробовать разложить числитель на множители.

Шаг 1: Разложение числителя

Мы имеем многочлен (x^3 + 3x^2 - 4x - 12). Один из способов разложения многочлена — это использование схемы Горнера или теоремы Безу для нахождения корней. Однако для данного многочлена удобнее попробовать разложить его на множители, предполагая, что один из корней может быть среди целых делителей свободного члена (-12).

Поиск возможных корней

Потенциальные рациональные корни многочлена — это делители свободного члена (-12), то есть (\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12).

Мы можем подставить эти значения в многочлен и найти, при каком из них он равен нулю. Начнем с (x = 2):

[ 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0 ]

Таким образом, (x = 2) — это корень, и ((x-2)) является множителем числителя.

Шаг 2: Деление многочлена

Теперь, зная, что ((x-2)) является множителем, мы можем разделить (x^3 + 3x^2 - 4x - 12) на (x-2). Используем деление многочленов:

1. Делим первую часть (x^3) на (x), получаем (x^2).
2. Умножаем (x^2) на ((x-2)), получаем (x^3 - 2x^2).
3. Вычитаем его из исходного многочлена, получаем: ((x^3 + 3x^2 - 4x - 12) - (x^3 - 2x^2) = 5x^2 - 4x - 12).
4. Делим (5x^2) на (x), получаем (5x).
5. Умножаем (5x) на ((x-2)), получаем (5x^2 - 10x).
6. Вычитаем: ((5x^2 - 4x - 12) - (5x^2 - 10x) = 6x - 12).
7. Делим (6x) на (x), получаем (6).
8. Умножаем (6) на ((x-2)), получаем (6x - 12).
9. Вычитаем: ((6x - 12) - (6x - 12) = 0).

Итак, при делении (x^3 + 3x^2 - 4x - 12) на (x-2) мы получили:

[ x^2 + 5x + 6 ]

Шаг 3: Разложение квадратичного многочлена

Теперь нужно разложить (x^2 + 5x + 6) на множители:

Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 2 и 3:

[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ]

Шаг 4: Сокращение дроби

Теперь мы можем записать числитель как произведение:

[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x-2)(x+2)(x+3) ]

Дробь теперь выглядит так:

[ \frac{(x-2)(x+2)(x+3)}{(x-2)(x+3)} ]

Сокращаем общие множители ((x-2)) и ((x+3)):

[ = x+2 ]

Таким образом, сокращенная форма данной дроби — (x + 2).

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель на множители и выделить общие множители с знаменателем. В данном случае, мы имеем числитель x³ + 3x² - 4x - 12, который можно разложить на множители: (x - 2)(x + 3). Таким образом, сокращенная дробь будет (x - 2)(x + 3) / (x - 2)*(x + 3), что равно 1.