Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением v=9t²-2t-8.вычислите ее путь за 3с от начала...

Чтобы вычислить путь, пройденный точкой за 3 секунды, нужно найти интеграл скорости по времени.

Уравнение скорости: $v(t$ = 9t^2 - 2t - 8 ).

Путь $S$ можно найти, вычислив определенный интеграл от скорости:

$S={\int }_0^3(9t^2-2t-8)dt$

Теперь вычислим этот интеграл:

1. Найдем первообразную: $\int (9t^2-2t-8)dt=3t^3-t^2-8t+C$

2. Вычислим определенный интеграл от 0 до 3: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_0^3 = \left$3(3^3$ - $3^2$ - 8$3$ \right) - \left$3(0^3$ - $0^2$ - 8$0$ \right) ] $=(3(27)-9-24)-0=81-9-24=48$

Таким образом, путь, пройденный точкой за 3 секунды, составляет 48 метров.

Для вычисления пути точки, движущейся прямолинейно, когда её скорость задана уравнением $v(t$ = 9t^2 - 2t - 8 ), нам нужно найти интеграл от скорости по времени, поскольку путь $S(t$ ) является первообразной $интегралом$ функции скорости $v(t$ ).

Шаг 1: Запишем выражение для пути

Путь $S(t$ ) определяется как: $S(t)=\int v(t)dt$ где $v(t$ = 9t^2 - 2t - 8 ).

Шаг 2: Найдём первообразную $S(t$ )

Рассчитаем интеграл: $S(t)=\int (9t^2-2t-8)dt.$ Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

• Интеграл от $9t^2$: $\int 9t^{2}dt=9\cdot \frac{t^3}{3}=3t^3$,
• Интеграл от $-2t$: $\int -2tdt=-2\cdot \frac{t^2}{2}=-t^2$,
• Интеграл от $-8$: $\int -8dt=-8t$.

Таким образом, первообразная имеет вид: $S(t)=3t^3-t^2-8t+C,$ где $C$ — постоянная интегрирования, которая определяется начальными условиями.

Шаг 3: Учитываем начальные условия

Предполагается, что точка начинает движение из начала координат, то есть её путь в момент времени $t=0$ равен нулю: $S(0$ = 0 ). Подставим $t=0$ в выражение для $S(t$ ): $S(0)=3\cdot 0^3-0^2-8\cdot 0+C=0.$ Отсюда $C=0$.

Таким образом, уравнение пути упрощается: $S(t)=3t^3-t^2-8t.$

Шаг 4: Найдём путь за 3 секунды

Теперь вычислим $S(3$ ), подставив $t=3$: $S(3)=3\cdot 3^3-3^2-8\cdot 3.$ Посчитаем поэтапно:

• $3^3=27$,
• $3\cdot 27=81$,
• $3^2=9$,
• $8\cdot 3=24$.

Подставляем значения: $S(3)=81-9-24=48.$

Итог

Путь, пройденный точкой за первые 3 секунды, равен: $\boxed{{\displaystyle 48\text{м}}}.$

Чтобы вычислить путь, пройденный точкой за 3 секунды, нам необходимо сначала определить уравнение перемещения на основе заданного уравнения скорости. Уравнение скорости $v(t$ = 9t^2 - 2t - 8 ) определяет производную функции перемещения $s(t$ ).

Для нахождения функции перемещения, нужно проинтегрировать функцию скорости:

$s(t)=\int v(t)dt=\int (9t^2-2t-8)dt$

Теперь проведем интегрирование по каждому члену:

1. Интеграл от $9t^2$ равен $3t^3$.
2. Интеграл от $-2t$ равен $-t^2$.
3. Интеграл от $-8$ равен $-8t$.

Таким образом, получаем:

$s(t)=3t^3-t^2-8t+C$

Константа интегрирования $C$ определяется исходными условиями. Если предположить, что в момент времени $t=0$ путь равен нулю $тоесть(s(0$ = 0 )), то:

$s(0)=3(0{)}^3-(0{)}^2-8(0)+C=0⟹C=0$

Таким образом, уравнение перемещения становится:

$s(t)=3t^3-t^2-8t$

Теперь можем вычислить путь за 3 секунды, подставив $t=3$:

$s(3)=3(3{)}^3-(3{)}^2-8(3)$

Посчитаем каждый член:

1. $3(3$^3 = 3 \cdot 27 = 81 )
2. $(3$^2 = 9 )
3. $8(3$ = 24 )

Теперь подставим эти значения в уравнение:

$s(3)=81-9-24$

Посчитаем:

$s(3)=81-9=72$ $s(3)=72-24=48$

Таким образом, путь, пройденный точкой за 3 секунды от начала движения, составляет 48 метров.