Для того чтобы определить, сколько различных стартовых шестерок можно образовать из числа 10 волейболистов, нужно использовать комбинаторику, а именно формулу для вычисления числа сочетаний. Сочетание — это способ выбрать подмножество из данного множества, не учитывая порядок элементов в подмножестве.
Формула для вычисления числа сочетаний (C) из n элементов по k элементов записывается как:
[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} ]
где ( n! ) — факториал числа n, и ( k! ) — факториал числа k.
В нашем случае:
- ( n = 10 ) (10 волейболистов),
- ( k = 6 ) (нужно выбрать 6 волейболистов для стартовой шестерки).
Подставим эти значения в формулу:
[ C(10, 6) = \frac{10!}{6! \cdot (10 - 6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} ]
Теперь вычислим факториалы:
- ( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 )
- ( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 )
- ( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 )
Для удобства расчета можно сократить ( 10! ) и ( 6! ):
[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! ]
[ \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 ]
Теперь нужно разделить это на ( 4! ):
[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} ]
Произведем вычисления:
[ 10 \times 9 = 90 ]
[ 90 \times 8 = 720 ]
[ 720 \times 7 = 5040 ]
[ 4 \times 3 = 12 ]
[ 12 \times 2 = 24 ]
[ 24 \times 1 = 24 ]
[ \frac{5040}{24} = 210 ]
Таким образом, число различных стартовых шестерок, которые можно образовать из 10 волейболистов, равно 210.