Для того чтобы определить количество различных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 без повторения цифр, нужно использовать понятие перестановок.
Перестановка — это упорядоченный набор элементов, в данном случае цифр. Если у нас есть ( n ) различных элементов, количество всех возможных перестановок этих ( n ) элементов равно ( n! ) (n факториал). Факториал числа ( n ) обозначается ( n! ) и представляет собой произведение всех положительных целых чисел от 1 до ( n ).
В нашем случае ( n = 5 ), так как у нас есть пять различных цифр: 1, 2, 3, 4 и 5. Следовательно, для определения количества различных пятизначных чисел, которые можно составить из этих цифр, нам нужно вычислить ( 5! ):
[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 ]
Теперь произведем вычисления:
[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 ]
Таким образом, существует 120 различных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 без повторения цифр.
Это решение основывается на принципе перестановок, поскольку для каждой позиции в пятизначном числе можно выбрать одну из оставшихся цифр, и это дает нам общее количество возможных упорядоченных наборов, которые соответствуют пятизначным числам.