Решите уравнение корень 6-x-x^2=x+1

Для решения данного уравнения, нужно привести его к квадратному уравнению. Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону:

6 - x - x^2 = x + 1 0 = x^2 + 2x - 5

Теперь используем квадратное уравнение в общем виде: ax^2 + bx + c = 0. В данном случае, a = 1, b = 2, c = -5.

Далее, используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

D = 2^2 - 41(-5) = 4 + 20 = 24

Так как дискриминант положителен, то у уравнения есть два действительных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a x = (-2 ± √24) / 2 x = (-2 ± 2√6) / 2 x1 = (-2 + 2√6) / 2 = -1 + √6 x2 = (-2 - 2√6) / 2 = -1 - √6

Таким образом, корни уравнения x^2 + 2x - 5 = 0 равны -1 + √6 и -1 - √6.

Чтобы решить уравнение (\sqrt{6 - x - x^2} = x + 1), следуем следующим шагам:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ):

   • Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: [ 6 - x - x^2 \geq 0. ]
   • Это неравенство можно записать как: [ -x^2 - x + 6 \geq 0. ]
   • Переписываем его в стандартной форме квадратного неравенства: [ x^2 + x - 6 \leq 0. ]
   • Найдем корни квадратного уравнения (x^2 + x - 6 = 0) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25. ]
   • Корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2}. ]
   • Получаем корни: [ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3. ]
   • Неравенство (x^2 + x - 6 \leq 0) выполняется на промежутке ([-3, 2]).

2. Решение уравнения:

   • Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: [ (\sqrt{6 - x - x^2})^2 = (x + 1)^2. ]
   • Получаем: [ 6 - x - x^2 = x^2 + 2x + 1. ]
   • Приведем уравнение к стандартному виду: [ 6 - x - x^2 = x^2 + 2x + 1 \implies -x^2 - x + 6 = x^2 + 2x + 1. ]
   • Переносим все члены в одну сторону: [ -x^2 - x + 6 - x^2 - 2x - 1 = 0. ]
   • Упрощаем: [ -2x^2 - 3x + 5 = 0. ]
   • Умножим уравнение на -1, чтобы сделать коэффициент при (x^2) положительным: [ 2x^2 + 3x - 5 = 0. ]
   • Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 2 \times (-5) = 9 + 40 = 49. ]
   • Корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{4}. ]
   • Получаем корни: [ x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{5}{2}. ]

3. Проверка на ОДЗ:

   • Корни (x_1 = 1) и (x_2 = -\frac{5}{2}) должны принадлежать ОДЗ ([-3, 2]).
   • Оба корня (1) и (-\frac{5}{2}) принадлежат этому промежутку.

4. Проверка решений:

   • Подставим (x = 1) в оригинальное уравнение: [ \sqrt{6 - 1 - 1^2} = 1 + 1 \implies \sqrt{4} = 2. ] Уравнение верно.
   • Подставим (x = -\frac{5}{2}) в оригинальное уравнение: [ \sqrt{6 + \frac{5}{2} - \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = -\frac{5}{2} + 1. ] [ \sqrt{6 + \frac{5}{2} - \frac{25}{4}} = -\frac{3}{2}. ] Левая часть не равна правой, поскольку корень не может быть отрицательным.

Таким образом, единственное решение уравнения — это (x = 1).